Lagrange

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11.10.2012, 22:12	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Gehe ich der Annahme richtig, dass es beim Lagrange-Ansatz egal ist, wie ich nach den Paramtern/Variablen anfange aufzulösen? Gibt es Tricks? Ich hab jetzt 10 Versuche für eine rel. einfache Lagrange-Optimierung gebraucht und bin dann erst auf n zufälligen Weg gefunden.
11.10.2012, 22:20	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo martinio, in der Regel ist es am Einfachsten bei den beiden Ableitungen (Im Falle von 2 Variablen) die Ausdrücke mit den Lagrange-Multiplikatoren auf die rechte Seite zu bringen. Dann die beiden Ableitungen durcheinander zu dividieren. Aber es kommt natürlich auf die Lagrangefunktion an. Im Prinzip ist es egal wie man anfängt. Da hast du natürlich recht. Mit freundlichen Grüßen. P.S. Ein Beispiel wäre auch nicht schlecht.
11.10.2012, 22:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Hallo, wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du wissen, wie man vorgeht, nachdem man den Gradienten der Lagrange-Funktion gleich Null gesetzt hat. Eine allgemeine Regel gibt es da nicht, man muss sich irgendwie überlegen, wie man das Gleichungssystem lösen kann. Oft helfen da auch Fallunterscheidungen, insbesondere die Null ist da ein Klassiker Ich könnte noch vorschlagen, dass wir ein Beispiel durchrechnen, aber das würde nur helfen, wenn die Aufgaben bei euch immer ähnlich aussehen (wenn z.B. nur mit Polynomen gerechnet wird). mfg, Ché Netzer
11.10.2012, 23:26	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Hallo ihr Lieben Danke für die Tipps! Hier mal ein Beispiel, bei dem ich mir nicht sicher bin, ob ich es richtig gemacht habe. $\begin{eqnarray} Z(x_1,x_2,x_3,\lambda)=x_1x_2^{2}x_3^{3}+\lambda(2-x_1-x_2-x_3) \end{eqnarray}$ Bilde den Gradienten und setzte diesen gleich Null. $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial x_1}=x_2^{2}x_3^{3} - \lambda=0 \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial x_2}=2x_1x_2x_3^{3} - \lambda=0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial x_3}=3x_1x_2^{2}x_3^{2} - \lambda=0 \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial \lambda}= 2-x_1-x_2-x_3 = 0 \end{eqnarray}$ (4) 1. Schritt (1)/(2) : $\begin{eqnarray} \frac{x_2^{2}x_3^{3} - \lambda}{2x_1x_2x_3^{3} - \lambda} \Rightarrow \frac{x_2^{2}x_3^{3}}{2x_1x_2x_3^{3}}=\frac{\lambda}{\lambda} \Rightarrow \frac{x_2}{2x_1} = 1 \Rightarrow x_2 = 2x_1 \end{eqnarray}$ 2. Schritt: Aus (1)/(3) : $\begin{eqnarray} \frac{x_2^{2}x_3^{3} - \lambda}{3x_1x_2^{2}x_3^{2} - \lambda} \Rightarrow \frac{x_2^{2}x_3^{3}}{3x_1x_2^{2}x_3^{2} } = 1 \Rightarrow x_3 = 3 x_1 \end{eqnarray}$ 3. Schritt: Setzte o.g. Lösungen in (4) ein. $\begin{eqnarray} 2-x_1-x_2-x_3 = 0 \Rightarrow 2 - x_1 - 2x_1 - 3x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ 4. Schritt Löse rückwärts x_2 und x_3 durch x_1 = 1/3 auf. $\begin{eqnarray} x_2= 2 * 1/3 = 2/3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 = 3 * 1/3 = 1 \end{eqnarray}$ 5. Schritt Überprüfe oben gewonne Ergebnisse anhand der NB (4) 2 - 1 - 1/3 - 2/3 = 0 , dies ist richtig. 6. Schirtt Löse Lambda aus einer bel. Gleichung. Nehme mir (1) und setze ein (2/3)^2 (1) = 0 -> lambda = 4/9
12.10.2012, 00:04	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo martinio, habe das gleiche Ergebnis. Wäre auch in gleicher oder ähnlicher Weise vorgegangen.
12.10.2012, 00:16	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
prima kasen! ich rechne nochmal ein wenig und wenn ich nicht weiter komme schreibe ich hier wieder rein!
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12.10.2012, 00:23	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass es bei dir so gut geklappt hat. Mach aber lieber ein neues Thema auf. Ich kann mir ja trotzdem deine Rechnung anschauen, wenn ich online bin. Mit freundlichen Grüßen.
12.10.2012, 00:26	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
in ordnung, wird gemacht. ich lerne noch bis 02.00 Uhr ca. . Dann pack ichs Heim. Wenn du dann noch on bist sprechen wir uns dann nochmal , ansonsten gute nacht und bis morgen!
12.10.2012, 00:29	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau ma mal. Auf jeden Fall wünsche ich dir auch eine gute Nacht.
12.10.2012, 00:49	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe aber noch eine Frage: gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} Z=x^2+y^2+z^2-8y-z+c+\lambda(z-x^2-y^2) \end{eqnarray}$ Partiellen Ableitung für x und y sind $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial x}= 2x-8-2\lambda x=0 \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial y}=2y-8-2\lambda y=0 \end{eqnarray}$ (2) Wenn ich dort (1)/(2) rechnen möchte, dann verstehe ich eigentlich nicht so recht wie diese Operation dort verläuft. streng genommen würde dort doch stehen: $\begin{eqnarray} \frac{2x-8-2\lambda x }{2y-8-2\lambda y} = \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ Nach dem Sprichwort: "Aus Summen kürzen nur die Dummen" kann ich ja eigentlich nicht soviel dort ausrichten mit dem Term. Klar ich kann von vorne rein auch anders teilen, nämlich: $\begin{eqnarray} \frac{2x-8 }{2y-8} = \frac{2\lambda x}{2\lambda y} \end{eqnarray}$ . Aber soviel weiter bringt mich das ja auch nicht... ich kann ja lediglich nur die lambdas rauskürzen... ich glaub da bräuchte ich mal ein paar ratschläge.
12.10.2012, 01:03	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo martinio, mach bitte einen neues Thema auf. Ich weiß im Moment nicht worauf das hinauslaufen soll. Mit Sicherheit weiß da jemand hier an Board besser Bescheid. Wenn nicht heute Nacht,dann morgen früh. Auf jeden Fall kannst du schon mal hier: $\begin{eqnarray} \frac{2x-8 }{2y-8} = \frac{2\lambda x}{2\lambda y} \end{eqnarray}$ jeweils die 8 auf die rechte Seite der Gleichung bringen. Und den Ausdruck auf der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung. Auf der linken Seite kannst du dann 2x bzw. 2y ausklammern. Dann kannst du auch dividieren. Grüße.

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