Frage z elementaren Strukturen (Logik)

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lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »
Frage z elementaren Strukturen (Logik)
Ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe in Ebbinghaus, Flum, Thomas (VI.3.9 auf Seite 111):

Seien Klassen von -Strukturen, wobei und als -elementar vorausgesetzt werden, d.h. es gibt jeweils S-Formelmengen die genau für die S-Strukturen in bzw. erfüllt sind.
Nun soll man zeigen, dass die 3 Aussagen
(1) ist elementar,
(2) ist -elementar,
(3) ist elementar
äquivalent sind.
"elementar" heißt, dass man eine einzige Formel finden kann, sodass die Klasse die Modellklasse dieser Formel ist.

"(1) folgt (2)" ist einfach, man muss nur zu dem Axiomensystem von die Formel hinzufügen, wenn
Ich komme aber bei "(2) folgt (3)" nicht weiter. Insbesondere kommt mir komisch vor, dass dann unter der Voraussetzung von (1) gilt, dass elementar ist (als Vereinigung von und ). Dann würde man insgesamt haben, dass jede -elementare Klasse, die eine elementare Teilklasse hat, selbst elementar ist. Gilt das wirklich?
Unter der Voraussetzung, dass elementar ist, schaffe ich den Schritt von (2) nach (3) mittels Endlichkeitssatz.
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Frage hat sich wohl geklärt. Man kann als Gegenbeispiel = Sprache der Arithmetik, =Klasse der unendlichen Strukturen (-elementar, nicht elementar) und = Modellklasse der Peanoaxiome (ohne Induktionsaxiom) (elementar, Teilklasse von ) nehmen. Also ein Fehler im Buch.
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