Asymptote berechnen

11.10.2012, 23:56

Ironfirstking

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Asymptote berechnen

Edit(Helferlein): Titel an Fragestellung angepasst.

Meine Frage:
Marko berechnet das Verhältnis von Gewinn pro Stück und Aufwand pro Stück durch x^3-2x+20x^2-300/1004-10x^2+4x^3. Er glaubt, dass dieses Verhältniss gegen 0 strebt, wenn er ewig arbeitet und überlegt, ob die Arbeit dann sinnvoll wäre. Überprüfen sie seine Vermutung

Meine Ideen:
Weis nicht wie ich anfangen soll

12.10.2012, 00:05

Gast11022013

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Ich denke du meinst diese Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+20x^2-2x-300}{4x^3-10x^2+1004} \end{eqnarray*}$

Achte auf die Klammersetzung! Deine Funktion bedeutet etwas anderes.
Des Weiteren hat diese Aufgabe nichts mit Integralrechnung zu tuen. Hier ist die Asymptote gesucht.

Viel mehr solltest du jedoch erst den anderen Thread zu ende bringen bevor du dich einer neuen Aufgabe widmest.

smile

smile

13.10.2012, 00:22

Ironfirstking

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Ok bin hier ja die Funktion meinte ich wie soll ich beginnen?

13.10.2012, 00:25

Gast11022013

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Weißt du was eine Asymptote ist, oder kannst du mit dem Grenzwertbegriff etwas anfangen?

13.10.2012, 00:28

Ironfirstking

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Hab schnell gegoogelt aber kann dennoch nichts mit dem Wort anfangen

13.10.2012, 00:31

Gast11022013

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Aber ihr habt sowas in der Schule schonmal besprochen, oder?
Mir scheint als würden dir ne Menge Grundlagen fehlen. Das ist mir auch schon in dem anderem Thread aufgefallen.
Die Frage ist nicht böse gemeint.
smile

smile

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13.10.2012, 00:36

Ironfirstking

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Ja ist anscheinet so bin neu in der Oberstufe dort wurde gesagt viele Grundlagen muss man vorher schon gelernt haben
Habe ich aber nicht
Dieser Lehrer hat uns eine probeklausur gegeben sprich diese Aufgaben darin kommen in der veränderten Form in der Klausur dran
Deswegen muss ich alle können
Es sind 5 aufgaben
Das ist die 3 te
Wie fahren wir fort ?

13.10.2012, 00:41

Gast11022013

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Dann versuche ich mal dir so gut es geht die Grundlagen nahe zu bringen.

Eine Asymptote ist eine Annäherungsgerade, der sich eine Funktion, wie die obige, im unendlichem, unendlich nah kommt ohne sie dabei jemals zu berühren.

Ein anderes Beispiel wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion hätte die Asymptote

x=0

,weil sich g(x) für riesengroße Werte immer näher dieser Geraden x=0 annähert. Dabei wird diese niemals erreicht und noch viel weniger geschnitten.

Nun ist in der Aufgabenstellung die Vermutung aufgestellt werden, dass auch die obige Funktion die Asymptote x=0 hat. Dies gilt es nun zu widerlegen, oder zu bestätigen.

Soweit klar?

13.10.2012, 00:44

Ironfirstking

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Habs verstanden
Ist das nicht wie lim x->0
Also x strebt gegen null
Wie gehts weiter?

13.10.2012, 00:46

Gast11022013

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Genau. Mit dem Limes hat es etwas zu tuen, aber wir wollen ja erst zeigen wogegen er strebt.

Sagt dir Zählergrad und Nennergrad etwas?
Polynomdivision ist bekannt?

Ich hätte drei Wege diese Aufgabe zu lösen. Davon können wir alle einmal durchgehen.

13.10.2012, 00:48

Ironfirstking

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Diese begriffe sagen mir nichts
Alle Wege einmal durchgehen wäre gut

13.10.2012, 00:52

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann beginne ich mal mit der meiner Meinung einfachsten. Dies wäre ein einfache Begründung, weshalb x=0 nicht die Asymptote von f(x) sein kann.

Dies hat etwas mit dem Zählergrad und dem Nennergrad zu tuen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3+20x^2-2x-300}{4x^3-10x^2+1004} \end{eqnarray*}$

Der Zählergrad ist die höchste Potenz, die ein x hat. In diesem Fall wäre dies 3, weil x^3 die höchste Potenz ist.

Der Nennergrad ist das selbe, bloß für den Nenner. Auch hier ist der Nennergrad 3 wegen 4x^3 als höchste Potenz.

Für eine Asymptote x=0 gilt

Nennergrad > Zählergrad

Ist dies hier der Fall? Kannst du begründen weshalb x=0 nicht Asymptote der Funktion sein kann?

13.10.2012, 00:58

Ironfirstking

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X kann nicht Null sein da nennergrad und zählergrad gleich sind

13.10.2012, 01:01

Gast11022013

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Genau. Da der Zählergrad und Nennergrad gleich sind kann x=0 nicht Asymptote von f(x) sein. Dies wäre eine relativ einfache Begründung, die gegen die Aussage der Aufgabenstellung spricht. Ob das in einer Klausur reichen würde, weiß ich nicht. Es ist ja nicht nach der expliziten Gleichung der Asymptote gefragt.

Diese erhalten wir mittels Polynomdivision mit Rest.
Wir teilen also einfach den Zähler durch den Nenner:

$\begin{eqnarray*} (x^3+20x^2-2x-300)\div (4x^3-10x^2+1004)=\dotso \end{eqnarray*}$

smile

smile

13.10.2012, 01:06

Ironfirstking

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Für eine asymtote x=0 gilt immer nennergrad > zählergrad?
Ist das eine festgeschrieben Regel ?
Gilt die Regel nur wenn der annäherende Punkt Null ist?
Wie soll ich dividieren wenn das x noch da ist?

13.10.2012, 01:14

Gast11022013

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Ja das ist eine festgeschriebene Regel. Beweisen kann ich sie dir jedoch nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst dir das ja auch mal so überlegen.

die Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{10000000x^2}{x^3} <br /> <br /> <br /> \, x\neq 0 \end{eqnarray*}$

hätte die Asymptote x=0 auch wenn es erstmal nicht den anschein haben könnte. Jedoch ist x^3 ab einem genügend großem x immer größer als 10000000x^2

$\begin{eqnarray*} x^3=10000000x^2<br /> <br /> x=10000000 \end{eqnarray*}$

Ab diesem Wert ist der Nenner größer als der Zähler und somit wird der komplette Bruch kleiner und strebt gegen 0

Was meinst du mit annäherdem Punkt 0 ?
Man nähert sich der Geraden x=0 an wenn Nennergrad > Zählergrad gilt, da die höhere Potenz im Nenner irgendwann dafür sorgt, dass wir nen Zähler in der größe übertreffen und somit unser Bruch gegen Null strebt.
Unten ist die Skizze von h(x) man sieht schön, wie man sich der x-Achse annähert.

Du kannst auch mal in diesem Thread gucken.
Equester hat dort die Regeln vom Zähler und Nennergrad einmal für mich Zusammengefasst:

Vorgehen bei gebrochen Rationalen Funktionen

Wie eine Polynomdivision funktioniert ist bekannt?

13.10.2012, 01:20

Ironfirstking

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Ja mir ist es jetzt klar es strebt gegen Null
Polydivision hab davon noch nichts gehört

13.10.2012, 01:25

opi

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Einwurf:

Zitat:

Man nähert sich der Geraden x=0 an wenn Nennergrad > Zählergrad gilt

Richtig ist y=0, dieser Fehler zieht sich schon durch den halben Thread.

Und damit bin ich auch wieder weg. Wink

Wink

13.10.2012, 01:32

Ironfirstking

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Warum y und nicht
X
Polydivison ?? Kannst du's erklären
Ich bin todmüde hoffe du hilfst morgen weiter

13.10.2012, 01:32

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du von der Polynomdivision noch nichts gehört hast, dann musst du dieses Thema schleunigst nacharbeiten. Die Polynomdivision ist nämlich als Lösungmethode für Gleichungen mit x^3 , oder höherem Grades meistens unverzichtbar.
Im Thema Kurvendiskussion kommt sie recht häufig vor.

Diese Seite erklärt die Polynomdivision ganz gut:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...nomdivision.htm

Allgemein kannst du dir die Polynomdivision so vorstellen wie schriftliches dividieren in der vierten Klasse:

45234:3=

Zu erst gucken wir wie oft die 3 in die 4 passt. Dort passt sie einmal rein. Wir schreiben die 1 hinter das Gleichheitzeichen:

45234:3=1

Nun multiplizieren wir die 1 mit der 3 und erhalten 3. Dieses schreiben wir unter die zahl von der wir dividieren und subtrahieren mit ihr. Das Ergebnis schreiben wir darunter und holen die nächste Zahl runter, was die 5 ist:

45234:3=1
-3
___
15

Nun von vorne. Wir gucken wie oft die 3 in die 15 passt. Das sind 5 mal

45234:3=15
-3
___
15
-15
____
02

die 3 passt 0mal in die 2 also holen wir die nächste Zahl nach unten

45234:3=150
-3
___
15
-15
____
023

usw.

Das selbe Schema wendet die Polynomdivision auch an. Nur hier rechnen wir eben mit x-ern. Diese kannst du jedoch wie eine ganznormale Zahl behandeln:

$\begin{eqnarray*} (x^3+20x^2-2x-300)\div (4x^3-10x^2+1004)=\dotso \end{eqnarray*}$

Zu erst nehmen wir und die $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und dividieren es mit $\begin{eqnarray*} 4x^3 \end{eqnarray*}$
Das ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^3+20x^2-2x-300)\div (4x^3-10x^2+1004)=\frac14 \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir 1/4 und multiplizieren mit der Klammer:

$\begin{eqnarray*} \frac14\cdot(4x^3-10x^2+1004)=\dotso \end{eqnarray*}$

Dies subtrahieren wir von $\begin{eqnarray*} (x^3+20x^2-2x-300) \end{eqnarray*}$

Nach der ersten Division können wir mit der Polynomdivision stoppen, weil im nächstem Schritt wir $\begin{eqnarray*} -10x^2\div 4x^3 \end{eqnarray*}$ teilen würden. Da hier die Potenz von x mit der geteilt wird größer wäre, hört man hier auf und erhält einen Rest. Die Asymptote ist das was vor dem Rest steht.

Da du jedoch von der Polynomdivison augenscheinlich noch nichts gehört hast, ist dies für den Anfang wahrscheinlich zu viel des guten. Ich empfehle mit einfacheren Aufgaben zu beginnen.

Als nächstes würde ich dann zur 3ten Lösungemethode gehen. Diese ist wieder einfacher zu verstehen als die Polynomdivions.
smile

smile

Edit:

Ups stimmt Opi hast recht ...... unglücklich

unglücklich

Natürlich ist es y=0.

Edit2:

Es muss y=0 heißen, weil dies eine Gerad ist. x=0 wäre eine Senkrechte die auf der x-Achse steht.
Blöder Fehler meinerseits.

13.10.2012, 01:39

Ironfirstking

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Danke dir erstmal ich gucke mir morgen nochmal die polyndivision an

13.10.2012, 01:42

Gast11022013

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Dann würde ich dir empfehlen, dass du erstmal eine Kurvendiskussion berechnest bei der diese zum Einsatz kommt.

Wie du in meinem obigem Post gesehen hast ist die Polynomdivision nicht einfach zu erklären, weil man es nicht übersichtlich schreiben kann. Ich zumindest nicht. Deshalb empfehle ich die verlinkte Seite. Dort kann man Beispielaufgaben erzeugen, wo der Rechenweg kommentiert dargestellt ist.

Gute Nacht.
Wink

Wink

13.10.2012, 20:01

Ironfirstking

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Hi nochmals
Also ich habe mir die polynomdivision angeguckt aber da wir das noch niemals gemacht haben denke ich dass es nicht dran kommt
Können wir zur 3 Ten Möglichkeit kommen Und wie kann man hier ins Forum Gleichungen einsetzten wie du's machst?

14.10.2012, 08:14

Gast11022013

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Irgendwie kann ich dir gar nicht glauben, dass ihr noch nie eine Polynomdivison gemacht habt. verwirrt

verwirrt

Aber nun gut.

Formeln erstellst du mit dem Formeleditior. Wenn du einen Beitrag erstellst ist dieser unter dem Textfeld verlinkt.

Formeleditor

Falls es das war was du meintest. Wenn du öfters hier Fragen stellst, dann hast du die wichtigsten Codes schnell raus und es geht ganz fix.

Die letzte Möglichkeit wäre die Grenzwertbetrachtung.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+20x^2-2x-300}{4x^3-10x^2+1004} \end{eqnarray*}$

Nun klammern wir in Zähler und Nenner die Höchste x-Potenz, also x^3 aus und kürzen es weg. Danach überlegt man sich was mit dem Bruch im Unendlichem so passiert und welchem Wert er sich annähert.

smile

smile

14.10.2012, 10:33

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Polynomdivision hatten wir wirklich noch nie
Wenn man x^3 ausklammert dann fällt die x^3 im Zähler weg und im Nenner bleibt dann 3 x^3
Wenns ins unendliche geht dann wirds zu Null
Also nähert es sich null

14.10.2012, 10:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Was erhältst du konkret wenn du x^3 in Zähler und Nenner ausklammerst?

14.10.2012, 10:50

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist das mit den ausklammern gemeint?

14.10.2012, 10:52

Gast11022013

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Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y=2x^2+4x+8<br /> <br /> y=2(x^2+2x+4) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich eine 2 ausgeklammert. Dabei wird jedes Glied einfach durch die Zahl geteilt die ausgeklammert wird. Es ist die Umkehrung vom aus multiplizieren.

Das habt ihr aber auf jeden Fall gehabt.

14.10.2012, 11:02

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso klar hatten wir das sorry bin Grade erst aufgestanden
20^x2/x^3 -2x/x^3 300/x^3 / 4 -10x^2/3x^2 1004/x^3
Hab's schon gekürzt und stelle fest das 0 im Zähler ist und 4 im Nenner also strebt es gegen 0?

14.10.2012, 11:11

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{20x^2}{x^3}-\frac{2x}{x^3}-\frac{300}{x^3}}{4-\frac{10x^2}{3x^2}+\frac{1004}{x^3}}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe mal fehlende Rechenzeichen zugefügt. Wenn du nicht den Formeleditor benutz, dann setze bitte Klammern um Zähler und Nenner.
smile

smile

In deiner Rechnung hast du einen Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^3}\neq 0 \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^3}=1 \end{eqnarray*}$

Des Weiteren kommst du auf einen kuriosen Bruch den ich nicht nachvollziehen kann.

$\begin{eqnarray*} -\frac{10x^2}{3x^2} \end{eqnarray*}$

es müsste eigentlich

$\begin{eqnarray*} -\frac{10x^2}{x^3} \end{eqnarray*}$

lauten. Ich gehe von einem Tippfehler aus.

Du solltest nun also folgendes stehen haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3\left(\frac{x^3}{x^3}+\frac{20x^2}{x^3}-\frac{2x}{x^3}-\frac{300}{x^3}\right)}{x^3\left(4-\frac{10x^2}{x^3}+\frac{1004}{x^3}\right)} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du erstmal einiges kürzen. Die ausgeklammerten x^3 fehlten auch in deiner Darstellung.

14.10.2012, 11:54

Ironfirstking

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Habe die x^3 weg gekürzt
Wie gehts weiter ?

14.10.2012, 11:58

Ironfirstking

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1/4 ist die Lösung das heißt es strebt nicht gegen Null und die Arbeit würde sich lohnen

14.10.2012, 11:58

Gast11022013

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Es wäre gut, wenn du mir dein zwischen Ergebnis nennst.
smile

smile

Wenn du nun so weit es geht gekürzt hast, dann kannst du dir mal überlegen was mit der Funktion passiert wen x gegen unendlich geht.

Edit:

Richtig. Freude

Freude

y=0.25 ist Asymptote der Funktion und dies ist auch der Grenzwert. Deshalb strebt die Funktion nicht gegen 0 und die Aufgabe ist gelöst.

14.10.2012, 12:01

Ironfirstking

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Wie schon gesagt 1/4 es strebt nicht gegen 0 und seine Arbeit würde sich lohhnen da Marko Gewinn erziehlt

14.10.2012, 12:02

Ironfirstking

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Ok vielen dank das du mir geholfen hast
Hab noch eine Aufgabe gepostet
Kannst du mir helfen

14.10.2012, 12:04

Gast11022013

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Gern geschehen.

Bei deiner neuen Beweis-Integralaufgabe kann ich dir nicht helfen. Ich habe vom beweisen keine Ahnung. Aber da hast du ja auch schon 2 Antworten von anderen Helfern erhalten.

Wink

Wink

Edit:

Falls dich das Ergebnis der Polynomdivision mit Rest interessiert.
Es lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+\frac{\frac{45}{2}x^2-2x-551}{4x^3-10x^2+1004} \end{eqnarray*}$

Daran hätte man es auch ablesen können.

Wie gesagt. Da in der Aufgabenstellung nicht nach dem genauem Wert gefragt ist, hätte möglicherweise die Begründung gereicht. Nun hättest du eben 3 mögliche Wege.

14.10.2012, 12:22

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap danke

1

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