Definition (Zahlentheorie)

12.10.2012, 01:15

Emerelle

Definition (Zahlentheorie)

Guten Abend,

Es gibt eine Definition, die ich nicht ganz verstehe.

$\begin{eqnarray*} m|ab, (m,a)=1 <=> m|b \end{eqnarray*}$

Was ich bisher "herausgefunden" habe:
m ist ein Teiler von ab
ggT von m und a ist 1

Wieso ist m ein Teiler von b? Wie kommt man darauf? Oder habe ich was Falsches intepretiert?

LG Emerelle

12.10.2012, 02:19

Kasen75

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Hallo,

deine Interpretation ist korrekt.
Meine Idee dazu ist folgende. Erstmal die Zahlen a,b und m mit Hilfe der Primzahlen P darstellen.

$\begin{eqnarray*} a=\prod_{i=1}^I P_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\prod_{j=1}^J P_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=\prod_{k=1}^K P_k \end{eqnarray*}$

Die erste Bedingung ist, dass c ein Teiler von a*b ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{ \prod_{i=1}^I P_i \cdot \prod_{j=1}^J P_j}{\prod_{k=1}^K P_k}=q \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q \in \ \mathbb N \end{eqnarray*}$

Welche Anforderungen wird jetzt an $\begin{eqnarray*} \frac{ \prod_{j=1}^J P_j }{\prod_{k=1}^K P_k} \end{eqnarray*}$ gestellt, wenn (m,a)=1 und q weiterhin Element von $\begin{eqnarray*} \ \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist?

Mit freundlichen Grüßen.

12.10.2012, 08:32

Mystic

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RE: Definition (Zahlentheorie)

Zitat:

Original von Emerelle
Guten Abend,

Es gibt eine Definition, die ich nicht ganz verstehe.

$\begin{eqnarray*} m|ab, (m,a)=1 <=> m|b \end{eqnarray*}$

Ja, da würde ich auch einiges daran nicht verstehen... Zunächst einmal, inwiefern ist das eine "Definition", d.h., was wird hier definiert? Des weiteren, warum soll aus m|b folgen, dass m und a teilerfremd sind, obwohl man über a ja gar nichts weiß??? geschockt

Man kann die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (die andere stimmt ja nicht!) übrigens auch einfacher so zeigen, dass man von einer Darstellung ggT(a,m)=xa+ym mit ganzen Zahlen x,y ausgeht... Bin damit auch schon wieder weg... Wink

13.10.2012, 01:32

Emerelle

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Guten Abend,

@Kasen: Danke für deine Antwort.
Heisst das, dass b eine Vielfache von m ist?
Ist es also eine "umgekehrte" Version von $\begin{eqnarray*} b|a => b|ka \end{eqnarray*}$
(wobei k irgendeine natürliche Zahl ist)? verwirrt

@Mystic: Habe es nachhinein auch gemerkt.

LG Emerelle

13.10.2012, 06:43

Kasen75

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Hallo Emerelle ,

mystic hat es ja dankenswerterweise angesprochen. Reden wir jetzt von $\begin{eqnarray*} m|ab, (m,a)=1 \textcolor{red}{=>} m|b \ \end{eqnarray*}$ ?
Genau, b ist ein vielfaches von m. Freude

Das liegt eben daran, dass a eben kein Vielfaches von m ist.

Zitat:

Ist es also eine "umgekehrte" Version von $\begin{eqnarray*} b|a => b|ka \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt natürlich. Was du genau damit sagen willst erschließt sich mir abler leider nicht. Vielleicht erläuterst du das noch mal.

Grüße.

14.10.2012, 02:04

Emerelle

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Guten Abend,

Achso, Vielen Dank für deine Hilfe ^^

Zitat:

Original von Kasen75
mystic hat es ja dankenswerterweise angesprochen. Reden wir jetzt von $\begin{eqnarray*} m|ab, (m,a)=1 \textcolor{red}{=>} m|b \ \end{eqnarray*}$ ?

Ja, da sollte es eigentlich kein Doppelpfeil stehen.

Zitat:

Ist es also eine "umgekehrte" Version von $\begin{eqnarray*} b|a => b|ka \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt natürlich. Was du genau damit sagen willst erschließt sich mir abler leider nicht. Vielleicht erläuterst du das noch mal.[...]

Ich dachte, weil k genauso unabhängig von b ist, wie bei dem vorherigen "Problem" m von a.

LG Emerelle

14.10.2012, 02:33

Kasen75

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Hallo,

es ist eben nicht so, dass man den Pfeil einfach umdrehen kann. Es kann durchaus sein, dass (b,k) > 1 ist.

Beispiel:

k=4, b=2, a=6

$\begin{eqnarray*} (b,k)=2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} b|k \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} b|ka \end{eqnarray*}$

Es gilt somit nicht (b,k)=1. Und damit ist es ein anderer Sachverhalt. Warum willst du denn den Pfeil umdrehen?

Grüße.

15.10.2012, 01:45

Emerelle

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Guten Abend,

Ich dachte, man könnte die Pfeilrichtung beliebig ändern.
Jetzt verstehe ich den Sinn dahinter Idee!