Norm ganz => Zahl ganz?

12.10.2012, 11:09	Nörmchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm ganz => Zahl ganz? Hallo Leute, haben wir eine ganze Zahl (aus dem Ganzheitsring) in einem algebraischen Zahlenkörper, so wissen wir, dass auch die Norm ganz ist. Gilt auch die Umkehrung? Ist jede Zahl ganz, deren Norm ganz ist? Danke!
12.10.2012, 14:07	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umkehrung ist i.A. falsch. Das Element $\begin{eqnarray} \frac 1 3 + \frac 2 3 \sqrt{-2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) \end{eqnarray}$ hat Norm $\begin{eqnarray} \frac 1 9 + 2\cdot \frac 4 9 =1 \end{eqnarray}$ ist aber sicherlich nicht ganz. Insbesondere gilt in den algebraischen Zahlkörpern vom Grad 2 über den rationalen Zahlen, dass ein Element genau dann ganz ist, wenn Norm und Spur ganz sind (diese legen das Minimalpolynom fest). Im obigen Beispiel ist gerade die Norm ganz, die Spur aber mit $\begin{eqnarray} \frac 2 3 \end{eqnarray}$ eben nicht.
12.10.2012, 16:04	Nörmchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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