Gleichung lösen

12.10.2012, 12:27

eDenis

Gleichung lösen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -8 & 8 & 4 \\ 20 & -20 & -10\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
x1 x2 x3 $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ergebnis lösen - komm damit nicht klar.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -8 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.10.2012, 14:30

Dopap

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RE: Gleichung lösen

Zitat:

Original von eDenis

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -8 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -8 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} -8x_1+8x_2+4x_3=0 ~ \Leftrightarrow ~ 2x_1-2x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$

die Lösungsmenge ist ein Ebene. Die ist aber noch nicht explizit gelöst, deshalb, wenn man will:

$\begin{eqnarray*} (1) x_1&=&x_2+\frac 12 x_3 (2) x_2 &=& \lambda (3) x_3&=& \mu \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wenn man das in Vektoren zusammenfasst, hat man die Parameterdarstellung der Ebene und damit die Lösungsmenge in expliziter Darstellung.

12.10.2012, 16:18

eDenis

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Vielen Dank! Bist du so nett mir die Parameterdarstellung zu Posten?

12.10.2012, 16:44

Dopap

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RE: Gleichung lösen
eigentlich solltest du das selber hinbekommen

$\begin{eqnarray*} (1) x_1&=&x_2+\frac 12 x_3 (2) x_2 &=& \lambda (3) x_3&=& \mu \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Einsetzen der Parameter:

$\begin{eqnarray*} (1) x_1&=&\lambda +\frac 12 \mu (2) x_2 &=& \lambda (3) x_3&=& \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x = \lambda \begin{pmatrix}? \\? \\? \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} ?\\ ? \\ ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch die Fragezeichen durch Zahlen ersetzen. Was kommt raus?

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