Wo ist mein Fehler? Ungleichheit

12.10.2012, 21:19

Bufi

Wo ist mein Fehler? Ungleichheit

Meine Frage:
Folgende Frage:
Bestimme alle x Element von R, für die gilt:
(1/(2x)) < (1/(3x))+(1/4)
Ich habe es ausgerechnet und x>(2/3) herausbekommen.
Doch mein Taschenrechner sagt mir, dass auch x<0 herauskommen muss. Doch leider fehlt mir der Ansatz für diese Lösung.
Vielleicht könnte mir jemand einen kleinen Tipp geben?

Meine Ideen:
(1/(2x)) < (1/(3x))+(1/4) | rechts alles auf den gleichen Nenner
1/(2x) < 4/(12x) + 3x/(12x) | jetzt rechts addieren
1/(2x) < (4+3x)/(12x) | jetzt jede Seite mit dem Nenner der anderen mal nehmen
12x < (4+3x) *2x | ausklammern
12x < 8x + 6x^2 | geteilt durch x
12 < 8+6x | -8
4 < 6x | geteilt durch 6
2/3 < x

12.10.2012, 21:29

Helferlein

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RE: Wo ist mein Fehler? Ungleichheit

Zitat:

Original von Bufi
1/(2x) < (4+3x)/(12x) | jetzt jede Seite mit dem Nenner der anderen mal nehmen

Einem Hochschüler sollte bekannt sein, wie Multiplikation mit negativen Zahlen eine Ungleichung verändert. Du bist hier automatisch von positiven Zahlen ausgegangen.

12.10.2012, 21:51

Bufi

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RE: Wo ist mein Fehler? Ungleichheit

Zitat:

Original von Helferlein

Zitat:

Original von Bufi
1/(2x) < (4+3x)/(12x) | jetzt jede Seite mit dem Nenner der anderen mal nehmen

Einem Hochschüler sollte bekannt sein, wie Multiplikation mit negativen Zahlen eine Ungleichung verändert. Du bist hier automatisch von positiven Zahlen ausgegangen.

Hey,
sorry ich bin im ersten Semester und hatte erst eine Vorlesung smile

Sagen wir also x wäre negativ, dann würde sich das Zeichen umdrehen.
Allerdings wären dann ja beide Seiten negativ, wodurch es sich ein zweites mal dreht.
also wäre es wieder in Ausgangsposition. Oder nicht?

12.10.2012, 22:14

Helferlein

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Und woher weisst Du, dass beide Seiten negativ sind?
Ohne Fallunterscheidung kannst Du das nicht wissen Augenzwinkern

12.10.2012, 22:32

Bufi

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achsooo.. da ist ja noch ein x im Zähler. wodurch alles wieder positiv würde auf der rechten Seite Big Laugh

Aber dann kommt x<-(20/6) raus. Oder hab ich jetzt einen großen Fehler gemacht?
also für x= negativ:

1/(-2x) < (4+(-3x))/(-12x) | wodurch dann rechts das minus wegfählt?!
12x > (4+3x)*(-2)
12x > -8x - 6x^2
12 > -8 - 6x
20 > -6x
(20/6) >-x
-(20/6) < x

langsam verzweifle ich -.-

12.10.2012, 22:41

Helferlein

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Wenn x negativ ist, woher kommt dann das zusätzliche minus, dass Du gesetzt hast?
Dadurch machst Du ja alles wieder positiv und veränderst zudem die Ungleichung.

Also nochmal ganz von vorne:

Wir haben die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac 1{2x} < \frac 1{3x}+\frac 14 \end{eqnarray*}$

Das x kriegen wir am schnellsten aus dem Nenner , indem wir die Ungleichung mit x multiplizieren. Es ergibt sich

1.Fall: x>0
Multiplikation mit x ändert das Ordnungszeichen nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2x} \cdot x< (\frac 1{3x}+\frac 14) \cdot x \end{eqnarray*}$

2.Fall: x<0
Multiplikation mit x dreht das Ordnungszeichen um.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2x} \cdot x> (\frac 1{3x}+\frac 14) \cdot x \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst Du weiter machen.

12.10.2012, 22:54

Bufi

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Meinen vorherigen Lösungsweg fand ich auch schlecht. Aber ich versuche gerade alles durch und verwirre mich glaube ich nur selber.

1.Fall: x>0
Multiplikation mit x ändert das Ordnungszeichen nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2x} \cdot x< (\frac 1{3x}+\frac 14) \cdot x \end{eqnarray*}$

2.Fall: x<0
Multiplikation mit x dreht das Ordnungszeichen um.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2x} \cdot x> (\frac 1{3x}+\frac 14) \cdot x \end{eqnarray*}$

der erste ist ja simpel:
1/2 < 1/3 + x/4
1/6 < x/4
4/6 < x <=> 2/3 < x

aber beim zweiten kommt wieder nur Müll raus, oder ich bin zu dumm dafür....
1/2 > 1/3 + x/4
1/6 > x/4
2/3 > x

Seh' ich das Ergebnis vielleicht nicht, weil ich zu sehr auf x<0 versteift bin?

12.10.2012, 23:01

HAL 9000

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Du solltest wissen, dass das Ergebnis der Umformungen nur unter der jeweiligen Fallbedingung gilt, d.h., beides ist mit einem logischen UND zu verknüpfen.

Im 1.Fall: $\begin{eqnarray*} x>0 \,\wedge\, x>\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x>\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Im 2.Fall: $\begin{eqnarray*} x<0 \,\wedge\, x<\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

12.10.2012, 23:03

Bufi

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-.- Ich idiot.

Danke smile

Ich denke, ich noch viel wiederholen.
Habe mich schon mehrere male gefragt, wie ich mein Abi mit 1,2 in Mathe bestehen konnte und jetzt nicht mal die einfachsten Aufgaben hin bekomme.

12.10.2012, 23:06

Che Netzer

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Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ braucht man übrigens nicht mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizieren, man kann sich auch leicht überlegen, dass die Ungleichung dann wegen $\begin{eqnarray*} \tfrac1{2x}<\tfrac1{3x} \end{eqnarray*}$ immer erfüllt ist.

12.10.2012, 23:11

Bufi

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Zitat:

Original von Che Netzer
Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ braucht man übrigens nicht mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizieren, man kann sich auch leicht überlegen, dass die Ungleichung dann wegen $\begin{eqnarray*} \tfrac1{2x}<\tfrac1{3x} \end{eqnarray*}$ immer erfüllt ist.

aber in der Hausarbeit zu sagen, dass ich mir das denken kann, reicht dem Dozenten nicht.

12.10.2012, 23:13

Che Netzer

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Du kannst die Überlegung dann natürlich noch etwas ausformulieren Augenzwinkern

Die genannte "Hilfsungleichung" ist ja ziemlich schnell gezeigt und der Rest ist auch eine halbe Zeile.

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