Benennung eines 8_18-artigen Knotens

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topos Auf diesen Beitrag antworten »
Benennung eines 8_18-artigen Knotens
Meine Frage:
Hallo,

ich bin kein Mathematiker sondern Chemiker und habe Probleme einen Knoten zu benennen.
Den Knoten, dessen Namen ich wissen möchte ist als Bild angehängt.
Im Prinzip ist es ein 8_18 Knoten, bei dem die äußeren crossing points invertiert sind.

Der Name reicht mir...

Alternativ würde mir der Name eines kostenfreien Programmes reichen, mit dem ich den Namen generieren könnte, dann könnte ich mir die Lösung selbst besorgen.


Meine Ideen:
Ich glaube, dass es kein prime knot ist...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Benennung eines 8_18-artigen Knotens
Die Frage hast du auch dort gestellt, daher wird hier geschlossen => Crossposting.
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Benennung eines 8_18-artigen Knotens
Da sich seit vorgestern im anderen Board nichts mehr getan hat, öffne ich den Thread hier wieder.
Vielleicht weiß hier ja jemand etwas zur Topologie von Knoten.

Ich habe das Modell von topos mal nachgebaut und ein paar Variationen gelegt. Möglicherweise hilft das weiter:
Das Original:[attach]26193[/attach]
Variationen durch Umlegen:
[attach]26194[/attach][attach]26196[/attach]
[attach]26195[/attach]

Hier noch eine Seite mit Knoten mit 8 Kreuzungen: http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table#Knots_with_8_crossings
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Benennung eines 8_18-artigen Knotens
Es geht also nur um die Klassifikation des Knoten? Richtig gut kenne ich mich nicht aus, aber ein paar Ideen kann ich mal präsentieren.

Zuallererst stellt sich da natürlich die Frage, ob das die Minimalzahl an Kreuzungen ist. Da keines der hier vorgestellten Diagramme alternierend ist, wüsste ich das nicht zu sagen. Ich gehe aber jetzt mal davon aus. Kennt jemand eine alternierende Projektion (wahrscheinlich nicht, aber ich muss fragen Augenzwinkern ).

Wenn ich mir sulos erstes Diagramm anschaue, kommt mir die Frage (wegen der Form), ob das nicht ein Torusknoten sein könnte. Das wäre dann der Knoten 8-19. Vielleicht kannst du @sulo das mal ausprobieren? Ansonsten mache ich das morgen früh selbst, aber ich muss erst nach Band suchen und muss gleich weg (leider).

Ich würde behaupten, wenn wir uns mal das Jones- und/oder das HOMFLY-Polynom zu dem Knoten anschauen, dann sollten wir der Sache schon verdammt nah kommen...
Hast du das Jones-Polynom mal berechnet? Wenn meine Idee mit dem Torusknoten falsch ist, kann ich mich da morgen abend sonst mal dransetzen...

Gruß
MI
topos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich bin kein Mathematiker, aber das letzte Bild von sulo sieht für mich so aus, als ob es eine Kombination eines pentafoil knots mit einem trefoil knot ist. Dann wird man auch die nicht alternierenden crossing points los. Wahrscheinlich ist es aber besser, wenn ihr die Polynome anwendet...

Vielen Dank, dass ihr euch damit auseinandersetzt!
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich ganz ehrlich sein, verstehe ich nicht, was du meinst. Du willst vier Seile durchschneiden und irgendwie wieder verbinden? Eine solche Operation kenne ich leider nicht.

Kennst du denn die Polynome, von denen ich geredet habe? Wenn ja, warum hast du es damit noch nicht versucht?

Gruß
MI
topos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynome, die du angesprochen hast kenne ich nicht und ich könnte sie auch nicht anwenden. Wie gesagt, für den Chemiker geht es eher um die synthetische Herausforderung. Es wurden zum Beispiel schon Moleküle mit der Topologie des Trefoil knots, des Pentafoil knots, des Solomon links und der Boromäischen Ringe synthetisiert. Das läuft aber so ab, das man sich eine Projektion des knots/links aussucht, die man irgendwie chemisch nachbauen kann. Die genauen mathematischen Hintergründe sind dabei nicht besonders interessant, man möchte sein Können als Chemiker zeigen, nicht als Mathematiker.

Ich weiß allerdings, dass es neben den prime knots (ich geh mal davon aus, dass die auf deutsch Primärknoten heißen) sogenannte composite knot (deutsch evtl. Kompositknoten) gibt.

Die Primärknoten sind dadurch gekennzeichnet, dass sie sich so relaxieren lassen, dass es nur abwechselnd über- und untereinander laufende Kreuzungspunkte gibt (wie sie in den schon angeprochenen Rolfsen-Tabellen zu finden sind).

Über Kompositknoten weiß ich nicht viel, hier steht was dazu: http://mathworld.wolfram.com/CompositeKnot.html
weil man die Kreuzungspunkte nicht los wird, könnte es also sein das es 3_1#5_1, 3_1#5_2, 3^*_1#5_1 oder 3^*_1#5_2 ist. Ich habe aber keine Ahnung, wie man das herausfindet...

EDIT: Unsaubere Formulierung und grammatikalischen Fehler behoben.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann weiß ich Bescheid. Ich kann nachvollziehen, dass dich die Mathematik da nur ungefähr interessiert.

Der Artikel bestätigt das so, wie ich das eigentlich kenne: Knoten entstehen (als Kompositknoten) über die Knotensumme - und die entsteht eben so: http://mathworld.wolfram.com/KnotSum.html - so eine Struktur (also zwei Seile zum Durchschneiden) kann ich aber nicht erzeugen, weshalb ich doch eher von einem Primknoten ausgehe.


Zum Polynomproblem:

Ich habe vorhin mal versucht das Jones-Polynom auszurechnen - was ziemlich komplex ist (hatte das nicht so im Kopf) und ziemlich lange gedauert hat. Leider habe ich kein passendes Ergebnis bekommen. Sehr wahrscheinlich habe ich mich verrechnet.
(Ich bekomme {-9} (-1,0,3,--6,6,-1,-2,2), wobei das erste die niedrigste Potenz im Polynom bezeichnet und der Rest die Vorfaktoren aufsteigend von unten).

Wenn ich davon ausgehe, dass das Ergebnis ungefähr stimmt, dann kämen die Knoten 7_5 (hat die richtige Potenz und eigentlich sollte ich mich bei der Potenz nicht vertan haben), 8_15 (eins drüber, hat ziemlich ähnliche Vorfaktoren) und 8_14 sowie 8_21 in Frage.

Tut mir Leid, dass ich da keine definitive Antwort geben kann - ein absoluter Spezialist hat da vermutlich einfach noch ein paar Tricks drauf, um das einfacher zu gestalten...

EDIT: Ich habe die Rechnung einfach mal angehängt. Grundlegend läuft das so ab: Man hat so genannte "Skein-Relationen", mit denen man Kreuzungen miteinander in Verbindung bringt. Dazu orientiert man den Knoten (Pfeile an deinem Knoten, der der Ausgangsknoten ist) und dann geht's los. Die grundlegende Skeinrelation für das Jonse-Polynom ist so etwas wie:
.
Die entstehenden Knoten habe ich entsprechend eingezeichnet - dabei sollten hoffentlich keine Fehler entstanden sein. Wenn man jetzt zwei Knoten in der Gleichung kennt, dann kann man die Gleichung nach dem dritten umstellen und erhält so ein Polynom in der Variablen q.
Generell habe ich alles berechnet - bis auf zwei Knoten, die mit einem Ausrufungszeichen versehen sind - deren Polynom konnte ich nachschlagen. Der Unknoten hat immer das Polynom 1.
Ich könnte mir vorstellen, dass ich irgendwo beim Zusammenfassen der so entstandenen Terme (mindestens) einen Fehler gemacht habe.

Vielleicht kann da jemand durchblicken und den Fehler finden Augenzwinkern .

Gruß
MI
topos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

MI, vielen Dank schonmal, dass du dir die Muehe gemacht hast. Es waere cool, wenn es ein Primknoten waere, weil ich nicht glaube, dass mein Prof einen Kompositknoten als "elegantes" Syntheseziel ansehen wuerde.

Die Hintergrundgeschichte ist naemlich, dass ich von jemanden, der die Gruppe verlassen hat das Projekt uebernommen habe einen 8_18 Knoten zu synthetisieren. Ich habe aber gemerkt, dass der Ansatz, den er benutzt hat aber zu der hier diskutierten Topologie fuehren wuerde, daher kommt mein Interesse an dem Knoten.
Wenn es kein Primknoten ist, kann das Projekt glaube ich beerdigt werden (und ich bin froh, dass ich noch keine Synthesearbeit investiert habe).

Viele Gruesse
topos
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das heißt aber, auf einen Tag mehr oder weniger kommt es vermutlich nicht an Augenzwinkern .

Ich suche auf jeden Fall noch einmal nach einem Fehler - irgendwo wird schon einer stecken.
Die Zahl der Kompositknoten mit höchstens acht Kreuzungen wird vermutlich nicht sehr hoch sein, um das letztendlich auszuschließen, muss ich mir die wohl auch anschauen.

Gruß
MI
topos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es eilt wirklich nicht besonders bis wann ich das weiß.

Laut dem oben genannten Link gibt es zwei Kompositknoten mit 6 crossings, einen mit 7 crossings und vier mit 8 crossings (keine mit weniger). Also insgesamt sieben mögliche Kompositknoten. Vergleicht man das mit den 36 möglichen Primknoten mit bis einschließlich 8 crossings ist das wirklich nicht viel. Der hier diskutierte Knoten ist also einer von "nur" 43 möglichen...
topos Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade noch mal ein bisschen recherchiert und muss vor allem MI meinen größten Respekt aussprechen. Es ist tatsächlich ein Torusknoten und damit der 8_19!

Zum Vergleich:
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/T%284%2C3%29

Vielen Dank nochmal an euch beide!

Das Thema kann geschlossen werden!
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar - dann hat sich das ja geklärt.

Dass meine erste Intuition korrekt war (prim und Torus) ist natürlich schön - die dort gezeigte Braid representation war auch das, was mir aufgefallen war und woher meine Idee stammt, aber bei diesen Sachen bin ich leider selbst nicht sehr fit, sodass ich nicht weiter in die Richtung gedacht hatte...
Andererseits bestätigt meine Rechnung, dass ich bei den "sicheren" Sachen aus der Übung bin - ich habe auch schon mindestens einen Fehler gefunden - war wohl doch zu spät Augenzwinkern .

Gruß
MI
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich, warum nicht die klare Darstellung des Knotens wie in topos' erstem Beitrag gewählt wurde, statt dessen eine solch unübersichtliche:
[attach]26228[/attach]
Da hilft es auch nicht zu schreiben: "8_19 is the first non-obvious torus knot in the table."

Ich habe übrigens versucht, gemäß der Bitte von MI, den abgebildeten Knoten aus meiner Schnur zu legen, aber vergebens.
Tatsächlich ist der abgebildete 8_19 spiegelverkehrt zu dem von topos abgebildeten Knoten, daher blieben meine Versuche erfolglos (zumal es eh ziemlich schwierig ist, von einer Abbildung eines Knotens auf eine andere zu kommen, zumindest, wenn man keine Übung darin hat).

Freut mich daher umso mehr, dass die Frage dann doch zufriedenstellend geklärt werden konnte.

smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Die Darstellung des Knoten finde ich auch nicht besonders gelungen - aber ich hatte auch keine Knotentabelle zur Hand, wo die Darstellung eine andere war.

Ich gehe davon aus, dass die Darstellung vor der Unterscheidung von Torus- und anderen Knoten kam und daher historisch so verquer ist...

Das mit dem spiegelverkehrt - darauf hätte ich natürlich noch hinweisen sollen, dass das auch möglich ist, das hätte vielleicht etwas der Verwirrung gespaart. Danke aber, sulo, dass du's versucht hattest!

Gruß
MI
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