Partielle Integration und Substitution

13.10.2012, 11:26

gast12123

Auf diesen Beitrag antworten »

Partielle Integration und Substitution

Hallo!

Warum kann man ln(x) nur partiell integrieren und nicht substutieren?

Oder doch? Ich wüsste nicht wie ich das substutieren sollte.

Wie erkenne ich den im schnellen, wann ich die substution anwenden muss und wann die parteille integration?

Funktioniet den die Partielle Integration überall wo auch die Substution funktioniert? weil dann brauch einfach nur partiell integrieren^^, obwohl die Substition schnell geht mh...

Bsp:
int(x*ln(x)) --> hier soll ich partiell integrieren

g'=x und f=ln(x): hier mus sich aber ln(x) nochmal partiell integrieren.

kann ich den auch einfach sagen f=x und g'=ln(x)? Denn das wäre wesentlich einfacher.

mfg gast

13.10.2012, 11:33

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration und Substitution
Das funktioniert beides, aber auch bei der Substitution muss man dann partiell integrieren:

Integration durch Substitution:

$\begin{eqnarray*} \ln (x)=z \Rightarrow dx=\exp(z) dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int z \cdot \exp(z) dz=[z \cdot \exp(z)] - \int \exp(z) dz=[z \cdot \exp(z)]- [ \exp(z)] \end{eqnarray*}$

Nach Rücksubstitution ergibt sich also die Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} x \cdot \ln(x)-x \end{eqnarray*}$

Zitat:

kann ich den auch einfach sagen f=x und g'=ln(x)? Denn das wäre wesentlich einfacher.

Welche Funktion du ableitest und von welcher du die Stammfunktion bildest bleibt dir überlassen.

Edit: Arrgh, zwei Edits um Rechtschreibfehler zu korrigieren, in der kurzen Antwort.....

13.10.2012, 12:07

MrYeah

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration und Substitution

Zitat:

Original von gast12123
kann ich den auch einfach sagen f=x und g'=ln(x)? Denn das wäre wesentlich einfacher.

Klar kannst du sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ sein soll. Ich verstehe aber nicht, was daran einfacher wäre.
Zwar wäre $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ sehr einfach, jedoch bringt $\begin{eqnarray*} g(x)=x\ln(x)-x \end{eqnarray*}$ aus meiner Sicht eher Nachteile.
Dann lieber $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x)=x \end{eqnarray*}$ und daraus folgend $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2012, 12:27

gast12344

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!

@MrYeah oh, sorry ich meinte es eh wie du^^, hab wohl die zwei Variablen vertauscht smile

smile

.

Ich hab die Aufgabe jetzt so gelöst:

f=ln(x), f' = 1/x
g'=x, g=x²/2

Hier die fertige partiellen Integration-Gleichung(mit Kürzen etc.):
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)\cdot x^2}{2} - \int_1^5 \! \frac{x}{2} \, \end{eqnarray*}$

F(b)=17,61
F(a)=-0,5

Stimmt das?

Laut Lösung ist das endgütlige Resultat: 12,57

Was habe ich da falsch gemacht?

14.10.2012, 08:35

gast23124

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte hilft mir doch jemand, es ist wichtig smile

smile

14.10.2012, 09:06

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast12344
Hier die fertige partiellen Integration-Gleichung(mit Kürzen etc.):
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)\cdot x^2}{2} - \int_1^5 \! \frac{x}{2} \, \end{eqnarray*}$

Das macht auf mich einen sehr "unfertigen" Eindruck... Zum einen fehlt dx beim Integral, zum anderen hast du dieses noch gar nicht ausgerechnet... Wie willst du in F einsetzen, wenn du F noch gar nicht kennst??? verwirrt

verwirrt

Edit: Außerdem setzt du im Integral die Grenzen ein, im Teil davor aber nicht... Du solltest dich schon für eines von beiden entscheiden... Lehrer

Lehrer

Anzeige

20.10.2012, 15:15

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich glaub ich habs verstanden.

Was ist eigentlich wenn man hat:
int(e^x*sin(x))

Ich wollte das Partiell Integrieren, aber es kommt noch immer eine Multiplikation mit je einem x im Term vor.

Kann man das eig. substutieren? Wenn ja warum? Wenn nein warum?

20.10.2012, 16:55

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mit latex:

$\begin{eqnarray*} \int e^x*sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

20.10.2012, 16:57

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss da zwei Mal partiell integrieren und kann dann die gesamte Gleichung nach dem gesuchten Integral auflösen.

Eine sinnvolle Substitution gibt es da nicht, nein. Die Frage nach dem "Warum" ist schwierig. Es geht halt nicht. Kochrezepte, wann man was machen muss, kann man da kaum geben. Das ist Übungssache.

20.10.2012, 17:11

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ok danke.

Beim Substutieren sollen ja alle x wegfallen oder?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{1+cos^2(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Kann man hier substutieren? Ich meine die Formel ist ja:

g'/g

cos(x) abgeleitet ist aber '-'sin(x). Zählt das vorzeichen da auch, oder ist das egal?

Was soll ich hier durch u ersetzen? cos(x)? Aber da bleibt dann wieder ein x übrig.

20.10.2012, 17:17

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast2314
Beim Substutieren sollen ja alle x wegfallen oder?

Nun, es muss jedes x, inklusive dem dx, substituiert werden, damit die Substitution vollständig ist, ja.

Zitat:

Original von gast2314
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{sin(x)}{1+cos^2(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Kann man hier substutieren? Ich meine die Formel ist ja:

g'/g

Ich weiß jetzt nicht, was "g'/g" für eine "Formel" (?) sein soll? verwirrt

verwirrt

Die Substitution cos(x)=t ist durchaus sinnvoll, ja. Das führt auf ein bekanntes Integral.

Zitat:

Original von gast2314
cos(x) abgeleitet ist aber '-'sin(x). Zählt das vorzeichen da auch, oder ist das egal?

Egal ist das Vorzeichen natürlich nicht. Forme doch leicht um:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} \, \dd x = - \int \frac{-\sin(x)}{1+\cos^2(x)} \, \dd x \end{eqnarray*}$
Dann passt es wieder.

Zitat:

Original von gast2314
Aber da bleibt dann wieder ein x übrig.

Da weiß ich wieder nicht, was du meinst. Versuch, das alles etwas klarer zu formulieren. Wenn du das so schwammig machst, ist es schwierig, da wirklich herauszufinden, wo die Verständnisprobleme liegen.

20.10.2012, 17:48

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ich weiß jetzt wie ichs machen soll.

Ich hab nur für einen cos(x) u ein gesetzt, aber für den anderen nicht.

Aber ok.

Ich hab jetzt noch $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{cos(x)}{1+sin(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ substutiert.

Da kommt dann nach dem substitieren, folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+u} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich jetzt warum das integriert dann einfach ln(1+u) ergibt?

Ich dachte das wäre nur bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ so? Also wenn ich 1/irgendwas integriere kommt raus ln(irgendwas)? Zumindest in den meisten Fällen?

20.10.2012, 17:59

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast2314
Ich frage mich jetzt warum das integriert dann einfach ln(1+u) ergibt?

Vorsicht, denk an die Beträge! Also ln(|1+u|)+C. -> Auch die Integrationskonstante wollen wir mal nicht vergessen.

Ganz allgemein kann man 1/irgendwas natürlich nicht zu ln(irgendwas) integrieren. Aber wenn der Nenner so wie hier linear ist (also von der Form ax+b), dann führt das immer auf den natürlichen Logarithmus. Denn 1+x abgeleitet ergibt ja genau 1, genauso wie auch x abgeleitet 1 ergibt.

Da könnte deshalb auch 1/(5000+u) stehen, das wäre egal.

Du kannst sonst ja noch vor dem Integrieren nochmal wieder 1+u=t substituieren.

Ich hätte aber sowieso von Anfang an komplett 1+sin(x)=u substituiert.

20.10.2012, 18:12

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Eine andere Frage noch:

so Sachen wie $\begin{eqnarray*} e^{3x} \, und \, sin(2x) \, etc. \end{eqnarray*}$ werden einfach normal integriert und dann durch die jeweiligen Zahl, die drinnen steht dividiert, richtig?

Ist im Prinzip, die umgekehrte Kettenregel zur Differentation. Kann man das so sagen?

Aber es geht nur bei y*x --> y ist eine reele Zahl.

Wie siehts mit 2x+1 aus? Da müsste man ja logischerweise wieder substutieren, richtig?

20.10.2012, 18:20

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast2314
so Sachen wie $\begin{eqnarray*} e^{3x} \, und \, sin(2x) \, etc. \end{eqnarray*}$ werden einfach normal integriert und dann durch die jeweiligen Zahl, die drinnen steht dividiert, richtig?

Im Prinzip schon. Ich würde es noch etwas anders formulieren: Man dividiert durch die Ableitung der inneren Funktion.

Das beantwortet dann auch gleich deine Frage:

Zitat:

Original von gast2314
Wie siehts mit 2x+1 aus?

Die Ableitung von 2x+1 ist 2, genau wie wenn man nur 2x hat. Also zwei Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(2x) \, \dd x = \frac{ -\cos(2x)}{2} +C \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int \sin(2x+1) \, \dd x = \frac{ -\cos(2x+1)}{2} +C \end{eqnarray*}$

Und ja, im Grunde ist das nur die "Kettenregel rückwärts". Das trifft insgesamt auf Regel der Integralsubstitution zu. Wenn man diese Regel beweisen will, ist der Ausgangspunkt die Kettenregel. Ich denke, das müsstet ihr im Unterricht auch mal gemacht haben.

Man kann auch bei

$\begin{eqnarray*} \int \sin(2x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

die Substitution 2x=u durchführen. Aber wenn ihr diese Faustregel mit dem "durch die innere Ableitung teilen" hattet, dann kann man sich das halt sparen. Es sind ja sehr einfache Spezialfälle.

Aber bitte nicht diese Faustregel auf Fälle übertragen, bei denen die innere Funktion nicht linear ist! Diesen Fehler sieht man nämlich immer und immer wieder. Also nicht sowas machen:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(x^2) \, \dd x = \frac{\sin(x^2)}{2x} \end{eqnarray*}$

Das ist nämlich falsch!

21.10.2012, 14:49

gast2314

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das kann man sicher nicht parteille Integrieren, da braucht man ja viele Schritte?

Ich kann da nie normal integrieren.

$\begin{eqnarray*} \int 3e^-4x*cos(2x) \, dx \end{eqnarray*}$

1. Partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} 3e^-4x*\frac{sin(2x)}{2}-\int 12*e^-4x*sin(2x) \end{eqnarray*}$

und wenn man das nun wieder partiell integriert, kann man wieder nicht gut integrieren etc.

Ich glaube das ist unlösbar, oder gibts da irgendwelche tricks?

Weiter oben sagtest du Mulder, das man bei dem Bsp: $\begin{eqnarray*} \int e^x*sin(x) \end{eqnarray*}$ nur 2mal partiell Integrieren muss, aber das ist wie bei dem Bsp oben es kommen immer die Werte e^x und cos bzw. sin im Integral vor.

Wie gesagt, gibts da einen Trick, oder hab ich mich einfach voll verrechnet?

21.10.2012, 19:56

gast232542

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann wer helfen bitte smile

smile

?

21.10.2012, 20:09

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast2314
1. Partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} 3e^-4x*\frac{sin(2x)}{2}-\int 12*e^-4x*sin(2x) \end{eqnarray*}$

Da fehlt ein Faktor 1/2 im Integral. Das cos(2x) hast du hier doch ebenfalls wieder du sin(2x)/2 integriert. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} 3\int e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x = \frac{3e^{-4x} \sin(2x)}{2} + 6 \int e^{-4x} \sin(2x) \, \dd x \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Und was danach zu tun ist, habe ich schon gesagt: Integriere jetzt

$\begin{eqnarray*} \int e^x \sin(2x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

ebenfalls nochmal partiell. Und das Ergebnis davon setzt du dann wieder in die Gleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ein.

Dann hast du eine Gleichung, in der nur noch das eine Integral vorkommt und danach löst du dann auf. Also das ist dann eine Gleichung vom Typ A= b+c*A und die löst man dann nach A auf, wobei A hier eben ein ganzes Integral ist.

Wichtig: In die gleiche Richtung weiter machen! Also wieder e^(-4x)=f und sin(2x)=g' wählen. Sonst machst du nur die erste partielle Integration wieder rückgängig und erhälst die wahnsinnige Erkenntnis 0=0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2012, 22:30

gast23423

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze System habe ich noch nicht wirklich durchschaut mh.

Wie kommst du links auf 3?

Also ich weiß schon irgendwie das du terme zusammenfasst, aber mh...

21.10.2012, 22:35

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast23423
Wie kommst du links auf 3?

Die Frage kapier ich jetzt nicht.

Du selbst hast mir doch den Integranden mit der 3 vor die Nase geknallt. Die 3 ist ein konstanter Faktor und konstante Faktoren kann man vor das Integralzeichen ziehen, genau so wie auch beim Ableiten konstante Faktoren einfach erhalten bleiben.

Das ist eigentlich auch völlig Banane an dieser Stelle.

Ehrlich gesagt: Ich kann es auch unmöglich noch umfangreicher erklären. Wenn da wirklich immer noch gar nichts angekommen ist, dann weiß ich irgendwie auch nicht mehr weiter. Dann stoße ich hier wohl an die Grenzen meiner Fähigkeiten, solche Sachen zu vermitteln.

21.10.2012, 22:55

gast23451

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir alleine schon für deine Mühe, aber keine Ahnung warum das nicht begreife^^.

Ich komme einfach nicht dahinter wie du auf deine Gleichung gekommen bist.

Versuchen wir es mal so bitte, vielleicht wenn du mir sagst was ich falsch mache smile

smile

:

Ich habs mal so gemacht:

1. Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} 3e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{2}+\int 12*e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

dann wieder partielle Intergieren:

$\begin{eqnarray*} 3e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{2}-12*e^{-4x}*\frac{cos(2x)}{4}+\int 48*e^{-4x}*\frac{cos(2x)}{4} \end{eqnarray*}$

und wieder partiell integriert:

$\begin{eqnarray*} 3e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{2}-12*e^{-4x}*\frac{cos(2x)}{4}+48*e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{8}-\int 192*e^{-4x}*\frac{sin(2x)}{8} \end{eqnarray*}$

Ich hab einfach 3mal partielle integriert. Und das wird ganz schön lang.

Soll ich das nicht so machen wie ich es hier grade vorführe?

21.10.2012, 23:20

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, du hättest dir viel Arbeit sparen können, wenn du diesen Satz hier auch gelesen hättest:

Zitat:

Original von Mulder
Und das Ergebnis davon setzt du dann wieder in die Gleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} \int 3e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x = 3e^{-4x}\frac{ \sin(2x)}{2}+\int 6e^{-4x} \sin(2x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

In einer Nebenrechnung ermitteln wir nun:

$\begin{eqnarray*} \int 6e^{-4x} \sin(2x) = -3e^{-4x} \cos(2x) - \int 12 e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Und nun ersetzen. Gleichung 2 benutzen wir und setzen das in Gleichung 1 ein:

$\begin{eqnarray*} \int 3e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x = 3e^{-4x}\frac{ \sin(2x)}{2}+ \left ( -3e^{-4x} \cos(2x) - \int 12 e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x \right ) \end{eqnarray*}$

Löse diese Gleichung nun nach $\begin{eqnarray*} \int 3e^{-4x} \cos(2x) \, \dd x \end{eqnarray*}$ auf. Wie ich oben schon sagte...

21.10.2012, 23:27

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich hätte man sich hier auch von Anfang an mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} F(x)=e^{-4x}(A \cos(2x)+B \sin(2x))+C \end{eqnarray*}$

für eine Stammfunktion und der nachträglichen Bestimmung von A und B viel Arbeit sparen können...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »