Beweis mittels Körperaxiomen

13.10.2012, 11:52

Tom81

Beweis mittels Körperaxiomen

Meine Frage:
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen, nur mit Hilfe der Körperaxiome:

Für jede Zahl a ungleich 0 gilt (-a)^-1 = -(a^-1)

Für Ideen und Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
Mein erster Ansatz war zu zeigen, dass dann -(a^-1) * (-a) = 1 ist

Problem dabei ist aber für mich, wie ich die Vorzeichen richtig in bzw. aus den Klammern nehmen kann und das nur mit Hilfer der neun Körperaxiome.

-(a^-1) * (-a) = 1
(-a^-1) * (-a) = 1
(-a)^-1 * (-a) = 1
1 = 1

13.10.2012, 11:54

Che Netzer

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RE: Beweis mittels Körperaxiomen
Hallo,

Zitat:

Original von Tom81
-(a^-1) * (-a) = 1
(-a^-1) * (-a) = 1

Hier verwendest du schon die Aussage, die du überhapt zeigen sollst.
Die Idee ist aber richtig, jetzt verwende $\begin{eqnarray*} -a:=-1\cdot a \end{eqnarray*}$ und Kommutativität.

mfg,
Ché Netzer

13.10.2012, 12:24

Tom81

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RE: Beweis mittels Körperaxiomen
mit deiner Idee, würde ich jetzt wie folgt weiter machen:

$\begin{eqnarray*} 1 = -(a^{-1}) * (-a) 1= -(a^{-1}) * (-1*a) 1=-1*(a^{-1})*(-1*a) 1=-1*(a^{-1}*-1*a) 1=-1(-1*a^{-1}*-a) 1=(-1*-1)*(a^{-1}*-a) 1=1*1 1=1 \end{eqnarray*}$

13.10.2012, 12:33

Che Netzer

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RE: Beweis mittels Körperaxiomen
Schreib das lieber als
$\begin{eqnarray*} -(a^{-1})\cdot(-a)=-(a^{-1})\cdot(-1\cdot a)=\dotso=1 \end{eqnarray*}$
auf, also als eine Gleichung.
Du kannst doch nicht mit $\begin{eqnarray*} 1=-(a^{-1})\cdot(-a) \end{eqnarray*}$ starten, das sollst du erst noch zeigen.

Ggf. musst du noch kurz $\begin{eqnarray*} -1\cdot(-1)=1 \end{eqnarray*}$ erläutern. Ansonsten passt aber alles.

13.10.2012, 12:53

Tom81

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RE: Beweis mittels Körperaxiomen
ok, danke das ist noch ein super tip!
danke für die schnellen und sehr hilfreichen antworten

mfg Tom

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