wurzel(2) hoch wurzel(2) element Q Beweisen

13.10.2012, 12:18	Ch33f	Auf diesen Beitrag antworten »
wurzel(2) hoch wurzel(2) element Q Beweisen Meine Frage: Hallo liebes Matheboard, Ich habe meine erste Analysis Vorlesung hinter mir und wir haben als Hausaufgabe auf folgendes zu beweisen: $\begin{eqnarray} \exists p, q \in \mathbb R ohne \mathbb Q : p^{q} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ (Sry hab den \ nich gefunden, desshalb "ohne") Und alles was wir wissen um das zu beweisen ist: $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \in \mathbb R ohne \mathbb Q \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Unser Prof hat uns den Tipp gegeben eine Fallunterscheidung zu machen: Angenommen $\begin{eqnarray} p^{q} \end{eqnarray}$ ist Element $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sind wir fertig und wenn nicht dann sollen wir mal gucken... Jetzt habe ich schonmal folgendes aufgeschrieben für den Fall das es nicht so ist: $\begin{eqnarray} \forall a \in \mathbb Z , \forall b \in \mathbb N : \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \neq \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ habe ich mir als $\begin{eqnarray} 2^{\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2}} \end{eqnarray}$ geschrieben, damit die Wurzeln weg sind ... jetzt komme ich aber nicht weiter ... Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Viele Grüße Luca
13.10.2012, 12:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde wie vorgeschlagen zunächst $\begin{eqnarray} p = q = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ setzen. Wenn jetzt $\begin{eqnarray} p^q \end{eqnarray}$ nicht rational ist, dann betrachte $\begin{eqnarray} p' = p^q \, , \ \ q' = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Was ist nun mit $\begin{eqnarray} p'^{\ q'} \end{eqnarray}$ ?
13.10.2012, 13:12	Ch33f2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! hm ok ... Ich sehe nicht auf anhieb was mir das helfen soll aber ich versuchs mal.
13.10.2012, 13:14	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, leopolds vorschlag ist gut und führt zum ziel, und der latexbefehl, den du nicht wusstest ist \setminus. gruss ollie3
13.10.2012, 14:01	Ch33f	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ... Das kann ich ja jetzt so oft machen wie ich will und immer mit einem Strich mehr ... Ich nehme mal an dass ich aufgrund dieser Möglichkeit irgendeine Aussage treffen kann, aber ich habe nicht die geringste Idee welche oder warum. Ich hoffe ich stelle mich nicht zu blöd an ich komme grade frisch von der Schule und habe erst eine Ana Lesung hinter mir.
13.10.2012, 14:16	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn mal geguckt, was $\begin{eqnarray} \left ( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right )^{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ überhaupt ergibt?
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13.10.2012, 14:26	Ch33f	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das ist jetzt peinlich :S Ja das ergibt zwei :P
13.10.2012, 14:29	Ch33f	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habs gelöst dankeschön Von der 2 kann ich ja dann rückschließen, dass $\begin{eqnarray} p^{q} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$

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