Mengenlehre Beweis

13.10.2012, 12:44

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

Mengenlehre Beweis

ich habe ein Problem mit dem Beweis $\begin{eqnarray*} A \cap \emptyset = \emptyset \end{eqnarray*}$

ich gehe bei Mengengleichheitsbeweisen immer so vor:

Beispiel :

$\begin{eqnarray*} A \cap B = B \cap A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \; und \;x \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in B \cap A \Leftrightarrow x \in B\; und \;x \in A \end{eqnarray*}$

dann mache ich eine Wahrheitstabelle und beweise damit die Äquivalenz der beiden Aussagen.

Bei der Aufgabe mit der leeren Menge bin ich mir allerdings nicht sicher wie das im Detail funktioniert und wie man es formal hinschreibt

mfg

13.10.2012, 12:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengenlehre Beweis
Zeige $\begin{eqnarray*} A\cap\emptyset\subseteq\emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset\subseteq A\cap\emptyset \end{eqnarray*}$ .

13.10.2012, 12:50

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap \emptyset \Leftrightarrow x \in A \; und \; x \in \emptyset \end{eqnarray*}$

das ist doch eine falsche Aussage, weil x in {} immer falsch ist oder?

13.10.2012, 12:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gar nicht, was Du da überhaupt zeigen willst.

Wenn Du eine Menge A mit der leeren Menge schneidest, was kommt denn dann heraus? Eben die leere Menge.

Aber wenn Du das wirklich beweisen willst, musst Du eben beide Mengeninklusionen zeigen:

Wenn Du annimmst, dass $\begin{eqnarray*} x\in A\cap\emptyset \end{eqnarray*}$ , dann muss in der Tat gelten, dass $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\in\emptyset \end{eqnarray*}$ . Da es ein solches x nicht geben kann, ist der Schnitt eben die leere Menge.

Und die leere Menge ist natürlich Teilmenge der leeren Menge.

Andersherum ist die leere Menge Teilmenge jeder Menge.

13.10.2012, 13:00

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.

ich wollte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in A \; und \; x \in \emptyset \Leftrightarrow x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ ist.

13.10.2012, 13:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie denn das?

Die leere Menge hat keine Elemente.

Anzeige

13.10.2012, 13:04

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte, wenn ich das dann als Aussage verstehe, ist diese Aussage halt immer falsch.

Ist das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} A \cap B = B \cap A \end{eqnarray*}$ überhaupt richtig, bzw. kann man sowas überhaupt mit Wahrheitstafeln machen?

13.10.2012, 13:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x\in A\cap\emptyset\Leftrightarrow x\in\emptyset \end{eqnarray*}$

ist eine falsche Äquivalenzaussage.

Ich verstehe nicht, was Du damit dann machen willst.

13.10.2012, 13:11

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

naja ich habe in einem Skript einen Mengengleichheitsbeweis mithilfe von Wahrheitstafeln gesehen und da dachte ich, man kann alle Mengengleichheitsbeweise so lösen

13.10.2012, 13:14

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein, dass ich Dich jetzt missverstehe.

Aber sei sicher, dass jemand hier eingreift und Dir weiterhelfen kann.

Ich verstehe jedenfalls den Aufwand nicht. Im Grunde ist das doch nur eine Anwendung von Definitionen!

$\begin{eqnarray*} A\cap\emptyset=\left\{x:x\in A\wedge x\in\emptyset\right\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

13.10.2012, 13:20

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} x\in A\cap\emptyset\Leftrightarrow x\in\emptyset \end{eqnarray*}$

ist eine falsche Äquivalenzaussage.

Nö. Die Aussage ist korrekt. De fakto ist es nur eine andere Schreibweise für die zu zeigende Behauptung is $\begin{eqnarray*} A \cap \emptyset = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Das folgt aus der Definition der Mengengleichheit.

Die Richtung $\begin{eqnarray*} x\in\emptyset\Rightarrow x\in A\cap\emptyset \end{eqnarray*}$ stimmt offenbar, da die Prämisse falsch ist, umd man so alles folgern kann.
Die Richtung $\begin{eqnarray*} x\in A\cap\emptyset\Rightarrow x\in\emptyset \end{eqnarray*}$ ist genauso wahr, denn $\begin{eqnarray*} x\in A\cap\emptyset\Rightarrow x\in A\wedge x\in\emptyset \end{eqnarray*}$

Das war eigendlich auch schon der ganze Beweis, ich hoffe das hilft dem Fragesteller weiter.

13.10.2012, 13:24

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

ich frage mich im Moment, ob es überhaupt sinnvoll ist Mengenbeweise mit Aussagenlogik zu machen^^

13.10.2012, 13:26

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von deserto12
ich frage mich im Moment, ob es überhaupt sinnvoll ist Mengenbeweise mit Aussagenlogik zu machen^^

Es geht, also wieso sollte es nicht sinnvoll sein? verwirrt

verwirrt

Wie würdest du das ohne Aussagenlogik machen?

13.10.2012, 13:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Regel sollte es wohl einfacher sein, Mengeninklusionen zu zeigen.

Und bei solchen Aussagen wie dieser hier, reicht das Ausschreiben der Definitionen aus.

Edit: Auch bei Mengeninklusionen nutzt man Aussagenlogik.

13.10.2012, 13:29

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

keine Ahnung wie man das sonst lösen kann. Ich bin, wie man an meinen Fragen sieht noch ein Anfänger, deswegen suche ich momentan Methoden um mit Mathematik klarzukommen. Da immer gesagt wird alles im der Mathematik hat mit Logik zu tun versuche ich momentan alle Aufgaben irgentwie mit Aussagenlogik anzufassen und gucke wie das funktioniert.

Was haltet ihr davon? ist das eine gute Idee?

mfg

13.10.2012, 13:32

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von deserto12
keine Ahnung wie man das sonst lösen kann. Ich bin, wie man an meinen Fragen sieht noch ein Anfänger, deswegen suche ich momentan Methoden um mit Mathematik klarzukommen. Da immer gesagt wird alles im der Mathematik hat mit Logik zu tun versuche ich momentan alle Aufgaben irgentwie mit Aussagenlogik anzufassen und gucke wie das funktioniert.

Was haltet ihr davon? ist das eine gute Idee?

Ja. Hast du meinen Beitrag oben verstanden?

13.10.2012, 13:36

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der zweiten Richtung bin ich mir nicht sicher

13.10.2012, 13:40

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von deserto12
bei der zweiten Richtung bin ich mir nicht sicher

Warum nicht?

13.10.2012, 13:44

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ scheint ja falsch zu sein die Implikation ist aber wahr oder? Also schließe ich darauß, dass $\begin{eqnarray*} A \cap \emptyset \end{eqnarray*}$ auch falsch sein muss aufgrund der Definition der Implikation und somit die leere Menge ist ?

13.10.2012, 14:07

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von deserto12
$\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in \emptyset \end{eqnarray*}$ scheint ja falsch zu sein die Implikation ist aber wahr oder?

Ja, aus einer falschen Prämisse kannst du alles folgern.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »