g'/g substituieren

13.10.2012, 11:46

james1

g'/g substituieren

Hi zusammen,

ich versuche gerade das Bsp: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{cos (x)}{sin^2 (x)} \, dx \end{eqnarray*}$ zu lösen. Es soll mit substutieren gelöst werden, aber man kann doch nur substutieren, wenn(in diesem Fall): \int_a^b \! \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx gilt.

Aber sin² x differenziert ist nicht cos x --> sin x ist cos x differenziert.

Mh... stimmt das was ich da sage?

mfg

James

13.10.2012, 11:49

james1

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edit: sorry der titel müsste heißen g'/g anstatt multiplizieren.

* Titel angepasst, Helferlein *

Hab das latex vergessen: $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

13.10.2012, 12:06

chris95

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Versuchs mal mit der Substitution:

$\begin{eqnarray*} y = \cos x \end{eqnarray*}$

smile

13.10.2012, 12:11

Mulder

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Zitat:

Original von chris95
Versuchs mal mit der Substitution:

$\begin{eqnarray*} y = \cos x \end{eqnarray*}$

smile

Nicht lieber $\begin{eqnarray*} y=\sin(x) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von james1
aber man kann doch nur substutieren, wenn(in diesem Fall): \int_a^b \! \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx gilt.

Wer sagt denn sowas? Das, was du da beschreibst, ist ein Spezialfall, da erhält man ,ln(g(x)) als eine Stammfunktion. Aber die Integralsubstitution ist ein viel mächtigeres Werkzeug, das man bei vielen, vielen anderen Fällen ebenfalls sinnvoll anwenden kann. So auch hier (die Substitution hab ich ja oben genannt, die du machen kannst).

Nebenbei: Da steht doch nur ein Term bei dir. Ein Term kann nicht "gelten". Augenzwinkern

13.10.2012, 12:16

chris95

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Omg, natuerlich.

Sorry fuer den Fehler, $\begin{eqnarray*} y=sin x \end{eqnarray*}$ ist die richtige Substitution.

13.10.2012, 12:26

gast12343

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Mh... ja danke, aber ich verstehs grad überhaupt nicht.

Wie lautet den die Regel für das oben genannte Bsp?

Soll ich mich jetzt doch nicht nach den Regeln halten? Ich kenne nur 3 Regeln: lineare Substutition und das mit g'*g und g'/g.

Vielleicht kann mir einer mal das Substutieren erklären bitte.

13.10.2012, 12:28

gast12344

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Zitat:

Original von Mulder
Nebenbei: Da steht doch nur ein Term bei dir. Ein Term kann nicht "gelten". Augenzwinkern

Sorry, aber was meinst du damit? ^^

13.10.2012, 12:38

Mulder

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Eigentlich lautet die allgemeine Substitutionsregel ja

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Und diesen Fall mit

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

hast du hier auch vorliegen - und zwar mit

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = (\sin(x))^{-2} \end{eqnarray*}$

und eben

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Eigentlich steckt dahinter ja nur die Kettenregel umgedreht. Die Kettenregel kennst du ja vom Ableiten wohl. Und du hast diese verkettete Funktion, wobei sin(x) die innere Funktion ist und dieses "hoch minus 2" dann die äußere Funktion.

PS: Mit dem gelten meine ich diese sprachliche Ungenauigkeit. Genau so gut könntest du sagen "Es gilt Apfel". Und das ist irgendwie kein sinnvoller deutscher Satz, oder?

13.10.2012, 16:07

gast12244

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Mh ok danke, schon langsam wirds bisslchen klarer.

Aber wann erkenne ich jetzt endgültig ob ich partielle Integrieren soll oder mit der Substutition?

sin²(x) --> kann man das auch substutieren oder muss man da partiell integrieren?

13.10.2012, 18:12

Mulder

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Zitat:

Original von gast12244
Aber wann erkenne ich jetzt endgültig ob ich partielle Integrieren soll oder mit der Substutition?

Durch Übung. Es hilft, immer und immer wieder Integrale zu üben, so stößt man auf die gängigen Tricks, sieht, warum sie wann funktionieren und sie fallen dir dann im Bedarfsfall auch zur rechten Zeit ein. Es muss dir auch überhaupt nicht zu denken geben, wenn dir da mal nicht der richtige Weg auf Anhieb einfällt.

Ansonsten muss man manchmal auch einfach ein bisschen rumprobieren. Bei der partiellen Integration z.B. kann man ja einfach mal gucken, ob was sinnvolles dabei rum kommt oder nicht. Man sieht dann ja wohl, ob man mit dem "neuen" Integral dann etwas anfangen kann oder nicht.

Zitat:

Original von gast12244
sin²(x) --> kann man das auch substutieren oder muss man da partiell integrieren?

Also du meinst jetzt einfach nur sin²(x) alleinstehend?

Man kann natürlich immer irgendwas substituieren, die Frage ist nur, ob einem das dann auch weiter hilft. Augenzwinkern

In diesem Fall hätte ich keine sinnvolle Substitution anzubieten. Partielle Intregration kann man hier gut machen, wie du ja schon angedeutet hast.

Alternativ könnte man auch die Identität

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1}{2}\ \Big(1 - \cos (2x) \Big) \end{eqnarray*}$

verwenden. Das auf der rechten Seite lässt sich ja jetzt einfacher integrieren. Man könnte da jetzt noch 2x=t substituieren, dann landet man beim Grundintegral cos(t), da ist ja dann sin(t) eine Stammfunktion.

Generell: Kochrezepte gibt es beim Integrieren kaum. Beim Ableiten ist das ja viel einfacher: Da hat man seine Regeln, die man immer anwenden kann. Beim Integrieren ist das schwieriger, da braucht man einfach ein Auge für. Kommt aber wohl mit der Zeit, wenn man das übt.

Hast du das Integral oben denn nun lösen können?

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