diskrete ZV

13.10.2012, 14:24

Gast11022013

diskrete ZV

Meine Frage:
Ich bin gerade auf beiden Augen blind.

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei $\begin{eqnarray*} Y\colon\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine diskrete reelle Zufallsvariable, d.h. Y nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an, etwa $\begin{eqnarray*} y_1,y_2,... \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} B_j:=\left\{\omega\in\Omega : Y(\omega)=y_j\right\}=Y^{-1}(y_j), j\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Ich sehe gerade nicht, wieso $\begin{eqnarray*} B_j\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also es gilt ja $\begin{eqnarray*} Y^{-1}(D)\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} D\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (Messbarkeit von Y).

Außerdem ist mir klar, dass $\begin{eqnarray*} \Omega=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}B_j \end{eqnarray*}$ .

Aber irgendwie kriege ich die Kurve zu $\begin{eqnarray*} B_j\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ nicht.

13.10.2012, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Also es gilt ja $\begin{eqnarray*} Y^{-1}(D)\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} D\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (Messbarkeit von Y).

Offenbar sind manche Sachen so einfach, dass man sie nicht sieht: Nutze diese Messbarkeitseigenschaft für die Einpunktmengen $\begin{eqnarray*} D=\{y_j\} \end{eqnarray*}$ .

13.10.2012, 14:34

Gast11022013

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Achso!

Zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} D_j:=(-\infty,y_j] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_j':=[y_j,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} D_j, D_j'\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und somit auch

$\begin{eqnarray*} D:=D_j\cap D_j'=\left\{y_j\right\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

Und dann wegen der Messbarkeit von Y

$\begin{eqnarray*} B_j=Y^{-1}(D)\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ?

13.10.2012, 14:35

HAL 9000

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Naja, ich wollte jetzt nicht noch diskutieren, dass die Einermengen zur Borel-Sigmaalgebra gehören, denn das hatte ich als bekannt angenommen! verwirrt

13.10.2012, 14:37

Gast11022013

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Okay, also ich hatte das im Hinterkopf, aber ich dachte, es sei an dieser Stelle gut, es nochmal aufzufrischen. Big Laugh

Okay, danke, dann habe ich es jetzt verstanden.

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