holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz

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13.10.2012, 15:40	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Meine Frage: Hallo zusammen Es geht um folgende Aufgabe: Finde mittels eines Potenzreihenansatzes alle holomorphen Funktionen, die folgende Gleichungen erfüllen. $\begin{eqnarray} <br /> a) \!f(0) = 0, \!f(f(z)) = z<br /> b) \!f(0) = 0, \!f(z) = \!f(2z)<br /> c) \!f(0) = 1, \!f'(z) = \!f(z)^2<br /> d) \!f(0) = 1, \!f'(z) = \!f(z^2)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun bin ich hier irgendwie völlig verlohren.. ich habe bei a mal so begonnen $\begin{eqnarray} \!f(f(z)) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k}f(z)^{k} \end{eqnarray*}$ und jetzt komm ich nicht weiter... kann mir vielleicht jemand helfen, der mich auf die richtige idee bringen kann. Danke
13.10.2012, 15:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Hallo, in dieser Potenzreihe kannst du für $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ wieder die Potenzreihe einsetzen, außerdem weißt du, dass $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer
13.10.2012, 15:55	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz ok also dann mache ich so weiter... $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \! f(f(z)) = \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} f(z)^k = \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} z^k = a1(a1+a2z+...) +a2(a1+a2z+...) +...= ???<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ wie komme ich den jetzt auf die Funktionen? sry ist mir echt unklar
13.10.2012, 15:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz $\begin{eqnarray} f(f(z))=\sum_{k=1}^\infty a_kf(z)^k=\sum_{k=1}^\infty a_k\left(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\right)^k\overset!=z\,. \end{eqnarray}$ So. Jetzt kannst du einen Koeffizientenvergleich machen.
13.10.2012, 16:15	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz ok danke für den Tipp aber leider habe ich voll ein Brett vorm kopf, kannst du mir das evtl. ausführen??? Danke
13.10.2012, 16:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Links soll dann ja auch nur $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ stehen. Jetzt überlege dir, welche Summanden aus der $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -ten Potenz überhaupt dazu infrage kommen. Übe das z.B. an $\begin{eqnarray} (a_1z+a_2z^2)^k\overset!=z \end{eqnarray}$ durch ausmultiplizieren für $\begin{eqnarray} k=1,2 \end{eqnarray}$ .
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13.10.2012, 16:31	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz ah ok jetzt verstehe ich... danke vielmals
13.10.2012, 16:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Die restlichen Aufgaben sind auch klar?
13.10.2012, 17:07	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz ähm ich habe so vermutungen, dass z.b. b) wird wohl die Nullabbildung sein c) könnte $\begin{eqnarray} \! f(z) = \sum\limits_{k=1}^\infty z^{k} \end{eqnarray}$ nur bei d ist es mir noch nicht klar... also falls du da auch noch einen tipp hättest
13.10.2012, 17:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Das müsstest du beides noch begründen. b) ist die einfachste der vier Aufgaben; die würde ich aber eher über den Identitätssatz bearbeiten. Zu c) kann deine Darstellung schon gar nicht stimmen, denn dann ist $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ . Wie bist du dabei denn vorgegangen?
13.10.2012, 17:18	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz also für b) $\begin{eqnarray} <br /> \!f(z) = \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} z^{k}<br /> <br /> \Rightarrow <br /> <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} z^{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} (2z)^{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty 2^{k} a_{k} z^{k} <br /> <br /> \Rightarrow <br /> <br /> a_{k} = 2^{k}* a_{k} <br /> <br /> \Rightarrow <br /> <br /> a_{k} = 0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ war dies mein vorgehen und für c) da hab ich jetzt auch grade gemerkt das ich fällschlicherweise n, anstatt z = 0 angenommen hab... also stimmt der sicher nicht
13.10.2012, 17:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Bei b ist nur der letzte Schritt lückenhaft. Aus $\begin{eqnarray} a_k=2^ka_k \end{eqnarray}$ kannst du nur für $\begin{eqnarray} k>0 \end{eqnarray}$ folgern, dass $\begin{eqnarray} a_k=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ wird durch die Forderung $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ bestimmt. Die c) ist aber auch fast richtig Was hast du dabei denn gerechnet? Wie bist du auf diese Potenzreihe gekommen?
13.10.2012, 17:30	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Also bei c ist mein rechenweg etwas unsauber glaub ich, daher wahrscheinlich auch der fehler, vielleicht kannst du mir ja gerade sagen wo der liegt also $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \!f(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} z^{k}<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> \!f'(z) = \sum\limits_{k=1}^\infty k a_{k} z^{k-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)* a_{k+1} z^{k} <br /> <br /> soll<br /> <br /> \!f(z)^{2} = \sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^k a_{k} a_{n-k} z^{n}<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> (n+1)a_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^k a_{k} a_{n-k}<br /> <br /> \Rightarrow<br /> <br /> a0 =a1=.....=an =... =1<br /> <br /> <br /> \!f(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty z^{k}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ und ja eben bei d hab ich keine wirkliche idee wie ich da vorgehen soll
13.10.2012, 17:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Igitt... Leite aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray} f'(z)=f(z)^2 \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} f^{(n)}(z)=n!(f(z))^{n+1} \end{eqnarray}$ her. Daraus kannst du dann $\begin{eqnarray} a_n=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray}$ , folgern.
13.10.2012, 17:35	Momo42	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Ok werds versuchen und was hast du mir für einen Tipp für Aufgabe d?
13.10.2012, 17:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: holomorphe Funktionen finden mit Potenzreihenansatz Wieder ein Koeffizientenvergleich. Bei c) hätte man übrigens auch alternativ die DGL $\begin{eqnarray} f'=f^2 \end{eqnarray}$ lösen können, und dann die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ benutzen können.

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