Grenzwert: Flächeninhalt - fraktaler Baum durch skaliertes Duplizieren

13.10.2012, 20:43	HeisenbergC10H15N	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert: Flächeninhalt - fraktaler Baum durch skaliertes Duplizieren Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabenstellung: Ich habe ein Bild hochgeladen, da man die Aufgabe kaum in Worten beschreiben kann. Die Formel für den Umfang lässt sich leicht herleiten. Die Werte für den Umfang habe ich also bereits. Ich habe aber noch Schwierigkeiten mit dem Grenzwert für den Flächeninhalt. Meine Ideen: Folgendes hab ich mir bis hierher überlegt: Es sah für mich stark danach aus, als ob das eine rekursive Folge wäre, denn der Flächeninhalt der bei jedem Schritt hinzukommt, ist die Hälfte des Flächeninhaltes vom vorherigen. Mit bisschen herumprobieren bin ich letztendlich auf diese Formel gekommen: $\begin{eqnarray} F_{n} = F_{n-1} + \frac{1}{2^{n} } F_{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{0} \end{eqnarray}$ ist in dem Fall der Flächeninhalt von der Grundfigur, nämlich: $\begin{eqnarray} 4 + \frac{3}{4} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ (Auch selbst berechnet, also auch hier bitte nachprüfen) Das ist alles. Wie berechne ich jetzt den Grenzwert? Ich setze F0 ein und lasse n gegen einen Wert laufen? Aber gegen welchen Wert? Vor allem weiß ich auch nichts mit dem Hinweis anzufangen. Ich bedanke mich vielmals!
14.10.2012, 09:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formel stimmt, nur ist ihre Verbalisierung nicht korrekt. Es kommt nicht die Hälfte des vorigen Flächeninhaltes hinzu, sondern die Hälfte des vorigen Flächenzuwachses. Wie auch immer - es läuft auf eine geometrische Reihe hinaus: $\begin{eqnarray} F_n = \left( 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^n \right) \cdot F_0 \end{eqnarray}$
14.10.2012, 22:01	HeisenbergC10H15N	Auf diesen Beitrag antworten »
Simple, aber sehr hilfreiche Antwort! Danke Dir. Gruß

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