Winkel eines Vektors mit den Koordinatenachsen im R3

13.10.2012, 23:36	foolishfool	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel eines Vektors mit den Koordinatenachsen im R3 Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ bildet mit den Achsen des Koordinatensystems die Winkel $\begin{eqnarray} \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3} \end{eqnarray}$ Ich soll das Folgende beweisen: $\begin{eqnarray} \cos^2(\alpha _{1}) +\cos^2(\alpha _{2}) +\cos^2(\alpha _{3})=1 \end{eqnarray}$ Ich habe leider überhaupt gar keinen Ansatz(jedenfalls keinen, der nicht völlig dämlich ist), würde mich aber freuen, wenn mir hier vlt. einer einen Tip geben könnte, wie ich vorgehen soll. klar, x1,x2 und x3 sind alle orthogonal zueinander und demnach ist ihr skalarprodukt jeweils 0, aber was mir das jetzt bringt weiss ich nicht.. Da es im Buch unter der Unterschrift "Beweise mithilfe des Skalarprodukts" läuft, nehme ich mal stark an, dass ich mir selbiges irgendwie zu Nutzen machen soll. Danke im Voraus
13.10.2012, 23:54	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestätige die Gleichung mit der allgemeinen Formel für $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{e}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{e}\|} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \vec{e} \end{eqnarray}$ für den entsprechenden, die jeweilige Koordinatenachse beschreibenden Einheitsvektor stehen soll.
14.10.2012, 00:42	foolishfool	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, sowas in der Art hatte ich ja auch probiert, aber irgendwie bin ich zu doof das umzuformen $\begin{eqnarray} \cos^2(\alpha )= \frac{(\vec{a} \cdot \vec{e})^2}{\vec{a}^2 \cdot \vec{e}^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{a} \cdot \vec{e})^2 \end{eqnarray}$ ist ja schonmal nicht $\begin{eqnarray} a^2 \cdot e^2 \end{eqnarray}$ .. logischerweise
14.10.2012, 01:45	foolishfool	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte man auch sagen, dass der Vektor a ja lin. abh. sein muss von den andren dreien, dass $\begin{eqnarray} \vec{a}=u \vec{e_{1}}+ v\vec{e_{2}}+ w\vec{e_{3}} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot \vec{e_{1}} \end{eqnarray}$ wäre dann $\begin{eqnarray} \frac{u^2\cdot \vec{e_{1}}^2 }{a^2} \end{eqnarray}$ weil sich die anderen Vektoren ja gegenseitig umbringen^^ also skalarprodukt =0 wenn man die jetzt alle zusammenaddiert, bekommt man $\begin{eqnarray} \frac{u^2 \vec{e_{1}}^2 +v^2 \vec{e_{2}}^2+w^2 \vec{e_{3}}^2 }{a^2} =1 \end{eqnarray}$ das gilt wegen der orthogonalität, da ja wenn man a quadriert wieder alles, was 2 versch. orthogonale Vektoren beinhaltet zu 0 wird und nur $\begin{eqnarray} u^2 \vec{e_{1}}^2 +v^2 \vec{e_{2}}^2+w^2 \vec{e_{3}}^2 \end{eqnarray}$ übrigbleib, was dann ja gleich a^2 ist. oder?
14.10.2012, 08:57	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum du Orthogonalität ins Spiel bringst, verstehe ich nicht so ganz. Wenn man $\begin{eqnarray} \vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \vec{e} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \vec{e} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetzt, dann hat man es dann doch direkt.
14.10.2012, 11:00	foolishfool	Auf diesen Beitrag antworten »
vermutlich, weil ich mich ein bisschen dämlich angestellt habe gestern. aber wenigstens weiss ich jetzt, wie es geht, dankeschön
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »