Prädikate und Quantoren

14.10.2012, 10:25

Prädikate

Prädikate und Quantoren

Hallo.

Bedeutet diese Aussage:

$\begin{eqnarray*} \exists x: A(x) \wedge x + 3 = 10 \end{eqnarray*}$

unter der Voraussetzung dass A(x) das Prädikat "x ist eine der Zahlen 1,2,3 oder 4" ist, folgendes?:

$\begin{eqnarray*} (1 \vee 2 \vee 3 \vee 4 ) \wedge x + 3 = 10 \end{eqnarray*}$ ?

Oder ist A(x) = x?

bzw. bedeutet die Aussage im Gesamten, dass sowohl A(x) als auch x + 3 gleich 10 sein soll, wobei A(x) 1 2 3 oder 4 und x beliebig sein kann?

Aber wenn A(x) 1,2,3 oder 4 und x beliebig sein kann und das "logische Und" für eine Addition gilt, dann ist die Aussage wahr.

14.10.2012, 11:01

Math1986

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RE: Prädikate und Quantoren
Was A(x) bedeutet hängt davon ab, wie es definiert wurde. Wenn es definiert wurde als "x ist eine der Zahlen 1,2,3 oder 4" dann wäre es
$\begin{eqnarray*} \exists x\colon (x=1 \vee x=2 \vee x=3 \vee x=4 ) \wedge x + 3 = 10 \end{eqnarray*}$

So wie du es geschrieben hast ist es falsch, da "1" als solches keine Aussage ist.

14.10.2012, 20:21

Prädikate

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Hallo und danke,

heißt das also dass das x bei "x + 3" ein anderes sein kann als das stellvertretend für A(x) ?

15.10.2012, 15:41

Dopap

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RE: Prädikate und Quantoren
$\begin{eqnarray*} \exists x\colon (x=1 \vee x=2 \vee x=3 \vee x=4 ) \wedge x + 3 = 10 \end{eqnarray*}$

eigentlich nicht, es seht ja -- "es existiert ein x" -- davor

15.10.2012, 17:21

Prädikate

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Danke.

Wenn ich nun den Wahrheitswert dieser Aussage zeigen soll, ist dann folgende Vorgehensweise korrekt?:

$\begin{eqnarray*} \exists x: [ A(x) = 10 \wedge x + 3 = 10 ] \Rightarrow (laut Definition von A(x) gilt<img src="images2/smilies/balloon.gif" border="0" alt="smile" title="smile" /> A(x) \neq 10 \Rightarrow F \end{eqnarray*}$

15.10.2012, 17:29

Prädikate

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Verzeihung, kleiner Fehler:

$\begin{eqnarray*} \exists x: [ A(x) = 10 \wedge x + 3 = 10 ] \end{eqnarray*}$
=> (per Definition für A(x) gilt
$\begin{eqnarray*} A(x) \neq 10 \Rightarrow F \end{eqnarray*}$

Und noch eine kleine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \exists x: [A (x) \wedge x + 3 < 5] \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} \exists x: [A(x) < 5 \wedge x + 3 < 5] \end{eqnarray*}$

Laut Definition gilt:
$\begin{eqnarray*} A(x) \leq 5 \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} x \leq 5 + 3 < 5 \end{eqnarray*}$

was erfüllt ist für x < 2 = x = 1.

15.10.2012, 17:56

Dopap

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Zitat:

Original von Prädikate
Verzeihung, kleiner Fehler:

$\begin{eqnarray*} \exists x: [ A(x) = 10 \wedge x + 3 = 10 ] \end{eqnarray*}$
=> (per Definition für A(x) gilt
$\begin{eqnarray*} A(x) \neq 10 \Rightarrow F \end{eqnarray*}$

etwas eigenartig, warum nicht so: $\begin{eqnarray*} x+3=10 \Leftrightarrow x=7 \Rightarrow A(7) \end{eqnarray*}$ ist falsch .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
und für die folgende Aufgabe gilt: $\begin{eqnarray*} A(x) \Leftrightarrow x \leq 5 \end{eqnarray*}$ oder?

15.10.2012, 18:03

Prädikate

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Für diese folgende Aufgabe gilt weiterhin dass A(x) = 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 ist also ja smile

15.10.2012, 18:08

Dopap

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das kannst aber nicht mit $\begin{eqnarray*} x\leq 5 \end{eqnarray*}$ abkürzen.

15.10.2012, 18:30

Prädikate

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Und wenn ich es so zeige:

x + 3 < 5 <=> x < 2

=> A(2)
=> W. ?

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Wie sieht es hier aus?:

$\begin{eqnarray*} \forall x: (A(x) -> x + 3 \leq 7) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x + 3 \leq 7 <=> x \leq 4 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \forall x: (A(x) -> x \leq 4) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \forall x: (A(x) \leq 4) \end{eqnarray*}$
=> F.

Obwohl mir meine Methode von Schritt 3 zu Schritt 4 nicht gefällt..

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