Integralrechnung 3

14.10.2012, 13:37

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung 3

Meine Frage:
Das Coulombsche Kraftgesetzt lautet $\begin{eqnarray*} F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q1Q2}{r^2} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 = 8,85 * 10^{-12} \frac{As}{Vm} \end{eqnarray*}$ beträgt. Im folgenden sollen die Einheiten keine Rolle spielen. Die Energie respektive die physikalische Arbeit ist in der Physik als Integral entlang eines Weges erklärt.

Die beiden AUfgaben habe ich als Foto reingestellt !

Meine Ideen:
Brauche unbediengt hilfe
habe keine ansetzte

Edit Equester: Latexcode korrigiert

14.10.2012, 15:06

dolorian

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \lim_{b\to \infty} \int_{0.5}^b \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\, \mathrm{d}r \end{eqnarray*}$
Nach welcher Variable wird integriert? Wie lautet die Stammfunktion?

14.10.2012, 16:50

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

sowas habe ich noch nie integriert

14.10.2012, 16:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \frac{c}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

berechnen?

14.10.2012, 16:59

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

nein

14.10.2012, 17:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b c \cdot x^{-2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ?

Anzeige

14.10.2012, 17:10

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

-x^-1 oder?

14.10.2012, 17:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der konstante Faktor $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bleibt erhalten.

Das ist jetzt aber erst die Stammfunktion. Du mußt noch die Grenzen einsetzen und den Limes bilden.

14.10.2012, 17:14

dolorian

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit der Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ? Setze danach mal die Ober- und Untergrenze ein

Edit: Leopold war schneller^^

14.10.2012, 17:18

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok
c-b^-1 - (c-0,5^-1) = c-b^-1-c+0,5^-1

14.10.2012, 17:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann kein Mensch lesen. Verwende den Formeleditor. Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein konstanter FAKTOR. Und dieser Fachbegriff hat in der Mathematik so gut wie immer etwas mit Multiplizieren zu tun. Anders als beim "Wohlfühl-Faktor" ...

14.10.2012, 17:33

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich das ergebnis dann mit c multiplizieren?

14.10.2012, 17:36

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{c}{x^2} = c \cdot x^{-2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F(x) = c \cdot \left( - x^{-1} \right) = - \frac{c}{x} \end{eqnarray*}$

Faktorregel aus der Schule: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren (und Integrieren) erhalten.

14.10.2012, 17:44

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

- \frac {c}{0,5} - ( - \frac{c}{b} )
so dann?

14.10.2012, 17:46

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis @Leopold: dolorian ist als (Erst-)Helfer aufgetreten und nicht als Fragesteller Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Hätte Dich ja auf die Verwechslung gerne per PN hingewiesen, aber das ist ob
Deiner Profileinstellung nicht möglich.

Wink

Wink

14.10.2012, 17:46

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} - \frac {c}{0,5} - ( - \frac{c}{b} ) \end{eqnarray*}$

14.10.2012, 17:49

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt beim Integral $\begin{eqnarray*} F(\text{obere Grenze}) - F(\text{untere Grenze}) \end{eqnarray*}$ berechnen, nicht umgekehrt.

14.10.2012, 17:50

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok ja klar weiß ich Big Laugh

Big Laugh

14.10.2012, 17:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch den Limes für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ bilden. Und am Schluß alles ordentlich aufschreiben, damit sich ein lückenloser und korrekter mathematischer Text ergibt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \frac{c}{x^2} ~ \dd x = \lim_{b \to \infty} \left( \ldots \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

Um zur konkreten Aufgabe zurückzukehren, mußt du dir nur klarmachen, daß dort $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ heißt. Aber was ist nur das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ?

14.10.2012, 18:16

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

r statt r
aber in der funk. sind auch pi und 4

14.10.2012, 18:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ironfirstking
r statt r
aber in der funk. sind auch pi und 4

Das ist unverständlich. Es fehlt im übrigen noch die Lösung der Aufgabe mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

14.10.2012, 18:25

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin schon voll überfordert

14.10.2012, 18:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0 r^2} ~ \mathrm{d}r = \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \underbrace{\left( \ \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0} \ \right)}_c \cdot \frac{1}{r^2} ~ \mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist ein Faktor, der sich aus lauter Größen zusammensetzt, die von der Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, also ein konstanter Faktor. Und ob die Integrationsvariable nun $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt ...

14.10.2012, 19:06

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was haben wir denn dann eben berechnet?

14.10.2012, 19:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ironfirstking
Aber was haben wir denn dann eben berechnet?

Das frage ich dich! Ich kann auch nicht verstehen, warum du einfach aufgehört hast, ohne mir das Ergebnis mitzuteilen. So weiß ich nicht, ob du jetzt das Ergebnis hast oder nicht.

So weit waren wir:

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \frac{c}{x^2} ~ \dd x = \lim_{b \to \infty} \left[ - \frac{c}{x} \right]_{0{,}5}^b = \lim_{b \to \infty} \left( - \frac{c}{b} + \frac{c}{0{,}5} \right) = \lim_{b \to \infty} \left( 2c - \frac{c}{b} \right) \end{eqnarray*}$

Und was kommt nun hier heraus?

14.10.2012, 20:02

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Weis ich nicht

14.10.2012, 21:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein lieber Freund! Du willst Integralrechnung betreiben und kannst nicht einmal diesen Limes bestimmen?

Aber so ist's nun mal ...

Stelle dir für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine feste Zahl vor (im Beispiel nehme ich $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ) und für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Zahlen, die beliebig groß werden. Welchem Wert strebt dann $\begin{eqnarray*} \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$ zu?

Beispielreihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}, \, \frac{5}{10}, \, \frac{5}{100}, \, \frac{5}{10500}, \, \frac{5}{1234567890}, \, \ldots \ \to \ \ldots \end{eqnarray*}$

Wo geht denn das hin?

Und wogegen strebt dann $\begin{eqnarray*} 2c - \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

14.10.2012, 21:46

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja klar 0

15.10.2012, 14:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Und wogegen strebt dann $\begin{eqnarray*} 2c - \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

15.10.2012, 15:43

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

2c

15.10.2012, 23:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und damit kannst du auch den Wert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{0{,}5}^b \underbrace{\left( \ \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0} \ \right)}_c \cdot \frac{1}{r^2} ~ \mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

unmittelbar angeben.

15.10.2012, 23:10

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh ich null

16.10.2012, 13:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integrationsvariable kann jederzeit umbenannt werden. Ob sie nun $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt, ist schnurzpiepegal. Schreibe also einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Und was hier das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, steht da. Und den Grenzwert hast du ja oben angegeben. Du mußt nur alles passend zusammensetzen.

17.10.2012, 21:45

Ironfirstking

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ich hab's jetzt verstanden
Morgen schreiben wir die Klausur die Aufg. Ist klausurrelevant
Also die Rechnung habe ich ( muss ich die Konstante c auch berechnen? )
Ich Brauch 5a also die erläuterung weshalb es gegen Null strebt
Wird mich über die Lösung sehr freuen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »