Beweis: Äquivalenz der Definitionen der Basis

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Anahita Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Äquivalenz der Definitionen der Basis
Hi Forum!

Ich möchte Folgendes beweisen und würde mich über eure Meinung freuen:

(1) Für einen Vektorraum V ist eine Menge an Vektoren M= {v_1, ... , v_n} aus V eine Basis, wenn sich jedes Element von V als Linearkombination aus Vektoren aus M darstellen und zudem diese Darstellung eindeutig ist

(2) M ist ein minimales Erzeugendensystem (jeder Vektor aus v lässt sich als Linearkombination von M darstellen und dies gilt für jede echte Teilmenge von M nicht mehr).

Ich will (1) => (2) durch Kontraposition (aus nicht-(2) folgt nicht-(1)) beweisen:

Annahme: M ist kein minimales Erzeugendensystem. D.h. für M' = M\v_i gilt, dass M' ein
Erzeugendensystem von V ist.

Das heisst insbesondere, dass sich v_i als Linearkombination der Vektoren von M' darstellen lässt:



mit lambda_j aus dem entsprechenden Körper.
Und weiter komme ich einfach nicht. Ich müsste ja jetzt noch zeigen, dass sich v_i auch mit einer anderen Linearkombination darstellen lässt und die Koeffizienten dieser Linearkombinationen nicht übereinstimmen. Aber was ist denn die zweite Linearkombination? Wäre die zweite Linearkombination, v_i durch ganz M auszudrücken? Aber inwiefern ist damit überhaupt ausgeschlossen, dass die Linearkombinationen eindeutig sind?
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

..kann ich es wo anderes posten, wenn ich hier keine Antwort bekomme?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du bekommst jetzt einfach Antwort. Dann hat sich das erledigt. Ein bisschen mehr Geduld vielleicht Augenzwinkern


Also wir sortieren mal, wo wir sind:

Du hast eine Basis M (im Sinne der Def. (1)). Und du willst zeigen, dass (2) gilt.

Wir nehmen das Gegenteil an, haben also eine echte Teilmenge , die auch Erzeugendensystem ist.

Nun betrachte mal ein Element aus .

Das Element kannst du einerseits mit Elementen aus darstellen und andererseits...
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin geduldig, aber manchmal kriegt man hier wirklich keine Antwort, obwohl ich denke, dass die Frage nicht soo kompliziert ist.
zu deinem Post:..das hab ich ja oben schon geschrieben smile und dann eine Frage dazu gestellt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass du durch diesen Hinweis hier

Zitat:
Original von tmo
Das Element kannst du einerseits mit Elementen aus darstellen und andererseits...


selbst auf die Lösung kommst.

Beachte, dass aus M kommt.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

also dass man entweder v_i als Linearkombination von M' oder M ausdrücken kann hab ich doch geschrieben? >_> ich verstehe aber das mit der Eindeutigkeit nicht.
Weshalb führt das zwingend dazu, dass die Koeffizienten der Linearkombinationen dann unterschiedlich sein müssen? Ich komme echt nicht auf den formalen Beweis
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Ich komme echt nicht auf den formalen Beweis


Dir fehlt keine Formalität, sondern ein entscheidender Gedankengang.


kommt aus M.

Wie kann man also (auf völlig triviale Art und Weise) den Vektor mit Vektoren aus M darstellen?

Es ist wohl zu einfach, um es zu erkennen.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Mich hats irgendwie verwirrt, dass nichts zu linearer Un/abhängigkeit von M gesagt wird.
Aber wenn ich annehme, dass M linear unabhängig ist, dann kann v_i nur durch sich selbst dargestellt werden (alle anderen Koeffizienten sind = 0). Wenns die Menge linear unabhängig wäre, dann wäre die Eindeutigkeit ja sowieso nicht mehr gegeben - aber darf ich diesen Schluss hier schon brauchen?. Und bei Eindeutigkeit hätte ich einmal also eine Darstellung durch M bzw mit 1*v_i und einmal mit M'.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
[...] v_i nur durch sich selbst dargestellt werden (alle anderen Koeffizienten sind = 0). [...] Und bei Eindeutigkeit hätte ich einmal also eine Darstellung durch M bzw mit 1*v_i und einmal mit M'.


Das sind doch schon genau die Überlegungen, die den Widerspruch liefern. Denn damit hast du 2 definitiv verschiedene Darstellungen gefunden.


Zur linearen Unabhängigkeit: Die darfst du nicht verwenden, schließlich wird die ja auch in (1) nirgends formuliert. Dass M als Basis auch linear unabhängig ist, steht auf einem anderen Blatt.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar, also wirklich zu weit überlegt. vielen dank!!
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir jetzt noch eine andere Äquivalenz angeschaut:

Die Menge M ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem => M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V

Das könnte man wieder per Kontraposition beweisen: Annahme, M ist nicht eine maximal linear
unabhängige Teilmenge. Ie es gibt einen Vektor v_k, den man hinzufügen kann, und M* wäre immer noch linear unabhängig.

Jetzt müsste man zeigen, dass damit M nicht ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.

Ich würde jetzt sagen, wenn M* immer noch linear abhängig ist, heisst das, dass M gar kein Erzeugendensystem war, weil ja v_k nicht im span von M war.

Auf wikipedia steht aber (sie brauchen B was ich mit M bezeichne):

"Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem B muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich B nicht maximal linear unabhängig, so gäbe es ein b* (das nicht in B liegt), welches zusammen mit B linear unabhängig wäre." ok, so weit bin ich einverstanden "Aber b* lässt sich als Linearkombination von Elementen von B darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht."

Das ist doch gar nicht gesagt, wenn man wirklich annimmt, dass sowohl B wie auch B* linear unabhängig sind? Schliesslich hatte man ja noch gar nicht angenommen, dass B AUCH ein Erzeugendensystem ist, man hat bzgl B nur Aussagen zur linearen (Un)abhängigkeit gemacht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita

Ich würde jetzt sagen, wenn M* immer noch linear abhängig ist, heisst das, dass M gar kein Erzeugendensystem war, weil ja v_k nicht im span von M war.


Das ist vollkommen richtig.

Und wenn du mal genau guckst, argumentierst du genauso wie auf Wikipedia.

Natürlich darf man davon ausgehen, dass B ein Erzeugendensystem ist. Es ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem nach Vorraussetzung.

Du verwendest in deiner Argumentation übrigens ebenfalls, dass M ein Erzeugendensystem ist.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

echt?

Ich versteh das wirklich anders, kannst du mir mal auf die Sprünge helfen?

(1) M ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
(2) M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V

Jetzt will (1) = > (2) beweisen und mache das mit not-(2) = > not(1)

Aber in not-(2): M ist NICHT eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V - habe ich nirgends angenommen, dass M ein erzeugenden System ist. Das ist also hier nicht Teil meiner Annahme. Ich nehme nur an, dass es nicht maximal linear unabhängig ist, und zeige dann, das es somit auch nicht ein Erzeugendensystem ist (nicht Annahme, sondern Schluss).
Auf wiki sieht das irgendwie so vermischt ist...
Ich berufe mich wirklich nur auf die Eigenschaften bzgl der Linearität.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Widerspruchsbeweis steht dir doch trotzdem immer noch die Voraussetzung zur Verfügung.

D.h. insbesondere darfst du hier alles benutzen, was in (1) steht.

Vielleicht wird es dir so klar:

Wir wollen not(2) => not(1) zeigen.

Gilt not(1), so sind wir fertig. Also können wir davon ausgehen, dass not(1) nicht gilt, also gilt (1). Und schon haben wir alle Aussagen aus (1) zur Verfügung smile
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke Danke

:-)
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