Differentialgleichungen und Anfangswertproblem.

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akvarel Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen und Anfangswertproblem.
Hallo!
Ich habe wieder ein kleines Denkproblem. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhilft=)

Es geht um die Differentialgleichungen und Anfangswertproblem.
Wie haben diese Aufgabe in der Uni gelöst, aber ich bin mir nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe.



Zugehörige Matrix:


Eigenwert und zugehöriger Eigenvektor:







Unser Tutor meinte, wenn es keinen expliziten Anfangswert gegeben ist, dann muss man die Matrix nicht zu orthonormalisieren(oder Vektoren zu normieren) und dann die richtige Anwort wäre:



Wenn aber einen expliziten Anfangswert gegeben ist, muss man einfach die Vektoren normieren.
zB:
Eigenwert und zugehöriger Eigenvektor:






Und dann lautet die Antwort:


Und der Angangswert:

Und dann ist die Lösung:



Und jetzt ist meine Frage:
In der Vorlesung hatten wir die gleiche Aufgabe mit den gleichen Anfangswertproblem und der Professor hat die Lösung aber so aufgeschrieben:
Er hat die Vektoren normiert aber hat die nicht in die Lösung gesteckt





Wieso hat er dann die Vekroten normiert wenn die sowieso nicht in der Lösung erschienen? Und wer hatte Recht und ist das überhaupt richtig? =)

Vielen Dank im Voraus.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du musst die Vektoren nicht normieren. Du darfst. Vielleicht war irgendwo noch von einer ONB der Eigenräume die Rede. Beide Wege sind richtig, für die Anfangswerte ergeben sich dann eben unterschiedliche Werte fü r und .

Du darfst die Eiegnvektoren mit einer beliebigen Zahl (nicht gerade Null) malnehmen, dann bleiben das ja Eigenvektoren: Wenn ein Vektor Eigenvektor ist, dann auch jedes Vielfache von ihm.
akvarel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
für die Anfangswerte ergeben sich dann eben unterschiedliche Werte fü r und .


Du meinst für einen Anfangswert ergeben sich zwei unterschiedliche Werte für und ?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, je nachdem, welchen Eigenvektor du nimmst.

Übrigens hast du es genau verkehrt herum aufgeschrieben: muss 0 sein.
akvarel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Ja, je nachdem, welchen Eigenvektor du nimmst.

Übrigens hast du es genau verkehrt herum aufgeschrieben: muss 0 sein.

oder auch oder dann

Aber wie so wollen wir die Eigenvektoren normieren? Und dann hat mein Tutor was falsches gesagt, da er meinte, dass wenn man einen expliziten Anfangswert hat, dann muss man die Eigenvektoren normieren
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt. Nee, im ersten Fall, ist in beiden Fällen = 0.

Warum das dein Tutor sagt, weiß ich nicht. Offenkundig muss man es nicht, überprüfe doch mal das Ergebnis deines Professors durch Einsetzen. Der Anfangswert wird auf jeden Fall schon mal angenommen, stimmt auch die DGL?
 
 
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