Anwendung: Flugroute und Landung

05.02.2007, 19:00

Assyrian4ever

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Anwendung: Flugroute und Landung

Zwie Flugzeuge F1 und F2 fliegen mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf einem geraden Kurs. F1 befindet sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A(1/3/40) und zum Zeitpunkt t=3 im Punkt B(4/7/40). Zu den entspechenden Zeiten befindet sich F2 in C(28/-20/11) bzw. in D(25/-18/14). Die Koordinaten sind in Einheiten von 100m, die Zeitpunkte in Sekunden angegeben.

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Flugzeug F1:

mein Ansatz: v = s/t
v = $\begin{eqnarray*} \mid \vec{AB} \mid \end{eqnarray*}$ / 3
v = 5/3 = 1,66666667
----> da Koordinaten in 100m-Einheiten: v= 167m/sec ???? verwirrt

verwirrt

verwirrt

b) Von einem Beinahezusammenstoß spricht man, wenn der Abstand zweier Flugzeuge weniger als eine Längeneinheit beträgt. Überprüfen Sie, ob es bei den Flugbahnen zu einem Beinahezusammenstoß kommen kann.

mein Ansatz: Ich habe die Beiden geraden F1 und F2 aufgestellt

F1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 40 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 28 \\ -20 \\ 11 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die beiden Geraden als windschief vorausgesetzt und habe den Abstand zweier windscheifen Geraden, hier F1 und F2 berechnet:

Ergebnis: Abstand d = 45,76 (gerundet)

d.h. doch, dass es zu keinem beinahezusammenstoß kommen kann!!! verwirrt

verwirrt

c) Bestimmen Sie die Positionen, bei denen sich die Flugzeuge am nächsten sind und geben Sie die minimale Entfernung an.

---> hier stockt es bei mir, weil ic nicht weiß was ich als mathematischen ansatz machen soll??? unglücklich

unglücklich

05.02.2007, 20:55

riwe

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RE: Anwendung: Flugroute und Landung
stimmen deine punkte C und D, oder der richtungsvektor von F2?

bei c) mußt du $\begin{eqnarray*} \lambda = t \end{eqnarray*}$ setzen, fliegen ja zeitgleich, den abstand bestimmen und differenzieren.
werner

05.02.2007, 21:14

Assyrian4ever

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ja also dei punkte müssten so stimmen, lautr aufgabenstellung!! verwirrt

verwirrt

zu c: also haben die beiden flugzeuge sozusagne den gleichen parameter vor dme rivhtungsvektor, also nur eine unbekannte
muss ich dann genauso vorgehen wie in b und die geraden wieder als windschief betrahcten und dne abstand berechnen????? was ist mit diffenrenzieren gemeint. ich ken dne begriff nur in zusammenhang mit analysis? ableiten undso unglücklich

unglücklich

verwirrt

verwirrt

05.02.2007, 22:43

riwe

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a) dann stimmt aber dein richtungsvektor nicht verwirrt

verwirrt

b) nein, du bestimmt den abstand d der beiden (noch unbekannten) punkte auf g und h mit dem pararameter t und differenzierst anschließend nach t.

wenn es dir noch nicht klar ist, melde dich wieder

bitte könntest du wieder ordentlicher schreiben, danke

werner

05.02.2007, 23:18

Assyrian4ever

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stimmt mein richtungsvektor ist falsch!!! Hammer

Hammer

Hammer

der richtungsvektor von F2 lautet:

CD=(-3/2/3)

dann beträgt der abstand zw. den windschiefen geraden F1 und F2 etwa 0,3841 LE. Somit kann es zu einem Beinahezusammenstoß kommen, da der Abstand kleiner als 1LE ist!!!

zu c) also ich setze t= Lambda
muss ich dann die beiden geraden gleichsetzen und nach t auflösen???

05.02.2007, 23:24

riwe

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Zitat:

Original von Assyrian4ever
stimmt mein richtungsvektor ist falsch!!! Hammer

Hammer

Hammer

der richtungsvektor von F2 lautet:

CD=(-3/2/3)

dann beträgt der abstand zw. den windschiefen geraden F1 und F2 etwa 0,3841 LE. Somit kann es zu einem Beinahezusammenstoß kommen, da der Abstand kleiner als 1LE ist!!!

zu c) also ich setze t= Lambda
muss ich dann die beiden geraden gleichsetzen und nach t auflösen???

nein, ich melde mich gleich, muß erst ein Prost

Prost

trinken!
werner

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05.02.2007, 23:52

riwe

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P liegt auf F1 und Q auf F2, damit hast du deren abstand:
$\begin{eqnarray*} d²=(1+3t-28+3t)²+(3+4t+20-2t)²+(40-11-3t)² \end{eqnarray*}$
und das differenzierst du jetzt nach t, und bestimmst so das minimum
werner

06.02.2007, 00:06

Assyrian4ever

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warum d² ????? dann müsste ich ja im nächsten schritt die unglücklich

unglücklich

unglücklich

aos ja ich habs vestandne warum d²--> phytagoras oder im R3 oder??

06.02.2007, 00:10

riwe

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der abstand von 2 punkten berechnet sich zu

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(x_1-x_2)²+(y_1-y_2)²+(z_1-z_2)²} \end{eqnarray*}$

und wo d ein extremum hat, hat auch d² ein solches.
aber du kannst gerne die wurzel ziehen und differenzieren, wenn es dir mehr spaß macht. Big Laugh

Big Laugh

ich bin halt faul und fahleranfällig, darum suche ich (meist) den einfachen weg, wie du ja schon weißt, seit wir miteinander plakatierten.
werner

06.02.2007, 00:20

Assyrian4ever

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aso ok:
also dann habe ich folg. raus als nächstes:

d² = 729 +81t² + 529 + 92t + 4t² + 841 -174t + 9t²
= 94t² - 82t + 2099

das ist die zudifferezenierende fkt.!!

wenn ich jetzt davon asugehe, das ich mich nicht verrechnet habe, bekomme ich für den Tiefpunkt folg. raus:

TP ( 0,436 / 2081,117) --> D.h. für t= 0,436 sind die beiden Flugzeuge am minimalsten voneinander entfernt!!!

06.02.2007, 00:37

riwe

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mit dem üblichen ziffernsturz und einem kleinen +/- - rechenfehler:

$\begin{eqnarray*} d²=49t²-406t+2099 \end{eqnarray*}$
und t mußt du dann nur mehr in d einsetzen, dann hast du den kleinsten abstand (da mußt du dann wurzel ziehen)

werner

06.02.2007, 00:47

Assyrian4ever

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ist der kleinste abstand d= 35,468 ??

06.02.2007, 01:03

riwe

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Freude

mal 100m
genug für heute
werner

06.02.2007, 08:54

Assyrian4ever

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dankeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

19.02.2007, 16:40

Juliando

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zu Teil b) der Aufgabe:

Ich bin mir nicht sicher, ob es tatsächlich zu einem Zusammenstoß kommt, wie hier dargestellt wurde. Oben wird ja lediglich der Abstand der beiden windschiefen Geraden berechnet, ohne auf die Position der Flugzeuge zu achten.
Meiner Meinung nach ist dieser Lösungsweg falsch. Stattdessen würde ich berechnen, zu welchem Zeitpunkt Flugzeug F2 auf einer Höhe von z=40 ist, da Flugzeug F1 sich konstant auf dieser Höhe befindet, und dann bestimmen wo F1 und F2 sich zu diesem Zeitpunkt ( $\begin{eqnarray*} t=29/3 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} S1 (30/41,7/40) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} S2 (-1/-0,7/40) \end{eqnarray*}$ ) aufhalten. Und da dies recht weit auseinander ist, kann man davon ausgehen, dass die Flugzeuge keine Beinahekollision fliegen.

19.02.2007, 17:24

riwe

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wenn du den thread aufmerksam gelesen hättest, hättest du bemerkt, dass wir auch so schlau waren und ausgerechnet haben, dass es zu KEINEM zusammenstoß kommt. Big Laugh

Big Laugh

steht sogar explizit da:
d=35.468 x 100m Big Laugh

Big Laugh

werner

19.02.2007, 18:18

Juliando

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keine Angst, hab mir den thread aufmerksam durchgelesen Big Laugh

Big Laugh

Jedoch hab ich mir jetzt nocheinmal die Aufgabe GANZ genau durchgelesen.
Teil b) ist meiner Ansicht nach ein wenig schwammig formuliert, denn je nach Interpretation kann man entweder bestimmen, ob die Flugbahnen an sich einander nahe kommen [entspricht der Bestimmung des Abstandes von windschiefen Geraden] oder nur die Flugzeuge [was dann wieder Teil c) entspräche].

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