Laplace Gleichung

14.10.2012, 16:17	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Gleichung Hi Leute, die Laplace Gleichung lautet, $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial y}=0 \end{eqnarray}$ oder eben, $\begin{eqnarray} f_{xx}+f_{yy}=0 \end{eqnarray}$ Umgestellt ergibt es, $\begin{eqnarray} f_{xx}=-f_{yy} \end{eqnarray}$ Das heißt also nun wenn ich die zweite partielle Ableitung nach x einer Funktion berechne habe ich auch gleich die zweite partielle Ableitung von y. Als Beispiel wäre es dann, $\begin{eqnarray} f(x,y)=5x^2+3y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x=10x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}=10 \end{eqnarray}$ Das heißt die zweite partielle Ableitung von $\begin{eqnarray} f_{yy}=-10 \end{eqnarray}$ . Ich prüfe es mal nach, $\begin{eqnarray} f_y=6y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yy}=6 \end{eqnarray}$ Wieso stimmt das denn jetzt nicht?
14.10.2012, 16:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung Weil dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nunmal keine Lösung der DGL ist
14.10.2012, 16:25	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung Ich nehme mal meine Beispielaufgabe die ich vorliegen habe. $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^3-y^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x=3x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx}=6x \end{eqnarray}$ Demnach ist $\begin{eqnarray} f_{yy}=-6y \end{eqnarray}$ Ich prüfe nach: $\begin{eqnarray} f_{y}=-3y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{yy}=-6y \end{eqnarray}$ Stimmt also. Wieso klappt es denn hier? Das ist doch eine Ausnutzung der Symmetrie oder nicht? $\begin{eqnarray} 6x-6y=0 \end{eqnarray}$ kann $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ werden.
14.10.2012, 16:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung Es gibt halt Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die die Laplace-Gleichung erfüllen, und manche, die sie nicht erfüllen. Du könntest dich genauso gut fragen, wieso nicht für alle reellen Funktionen $\begin{eqnarray} f'=f \end{eqnarray}$ gilt, obwohl das doch für die Exponentialfunktion gilt. Und die Funktion aus dem zweiten Beispiel erfüllt die Gleichung doch auch nicht... $\begin{eqnarray} 6x-6y\neq0\,. \end{eqnarray}$ Es muss ja nicht $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ eingesetzt werden.
14.10.2012, 16:34	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung In meinen Unterlagen steht noch, $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^3-y^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y)=-(-x^3+y^3)=-(y^3-x^3)=-f(x,y) \end{eqnarray}$ Deswegen soll man es bei dem zweiten Beispiel anwenden können. Die Form sieht mir stark nach der Achsensymmetrie aus der Funktionsuntersuchung mit einer Variable. Dort gilt ja auch eine Funktion ist y-Achsensymmetrisch wenn $\begin{eqnarray} f(x)=-f(x) \end{eqnarray}$ gilt. Hier sieht mir das ähnlich aus, $\begin{eqnarray} f(x,y)=-f(x,y) \end{eqnarray}$ oder wie ist das gemeint?
14.10.2012, 16:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung Ich schätze, du meinst $\begin{eqnarray} f(x,y)=-f(y,x) \end{eqnarray}$ . Das würde ich als Antisymmetrie von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bezeichnen. Im dreidimensionalen Graphen dürfte das Punktsymmetrie sein. Die Laplace-Gleichung erfüllt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aber nicht. Und wenn eine reelle Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=-f(x) \end{eqnarray}$ erfüllt, ist es die Nullfunktion
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14.10.2012, 16:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace Gleichung $\begin{eqnarray} f(x,y)=-f(y,x) \end{eqnarray}$ Das meine ich. Ok, ich werde das mal so stehen lassen und nochmal aufgreifen wenn ich zu Differentialgleichungen komme. Vielen Dank! CT

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