Beweis: Disjkunktion von Konjunktionstermen ist Teilmenge einer Konjunktion von Disjunktionstermen

14.10.2012, 17:46	HeuteIstSonntag	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Disjkunktion von Konjunktionstermen ist Teilmenge einer Konjunktion von Disjunktionstermen Meine Frage: Zu zeigen ist, dass stets gilt: $\begin{eqnarray} \bigcup \limits_{i=1}^n \bigcap \limits_{j=1}^m M_{i,j} \subset \bigcap \limits_{j=1}^m \bigcup \limits_{i=1}^n M_{i,j} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe versucht, für ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ folgenden Zusammenhang auszunutzen: $\begin{eqnarray} x \in \bigcup \limits_{i=1}^n \bigcap \limits_{j=1}^m M_{i,j} \Rightarrow \forall a \in \bigcap \limits_{j=1}^m M_{i,j} : x \in a \end{eqnarray}$ Damit komme ich jedoch nicht weiter ...
15.10.2012, 18:14	HeuteIstSonntag	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich etwas erklärendes zu der Aufgabe hinzufügen oder weiß wirklich niemand einen Rat?
15.10.2012, 18:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich musst Du das nur mal ausschreiben. Sei $\begin{eqnarray} x\in\bigcup\limits_{i=1}^{n}\bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x\in\bigcup\limits_{i=1}^{n}\left(M_{i,1}\cap M_{i,2}\cap\hdots\cap M_{i,m}\right) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x\in\bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{1,j}\vee x\in\bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{2,j}\vee\hdots\vee x\in\bigcap_{j=1}^{m}M_{n,j} \end{eqnarray}$ Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray} x\in\bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{1,j}=M_{1,1}\cap M_{1,2}\cap\hdots\cap M_{1,m} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x\in M_{1,1}\wedge x\in M_{1,2}\wedge\hdots\wedge x\in M_{1,m} \end{eqnarray}$ Dann folgt $\begin{eqnarray} x\in (M_{1,1}\cup M_{2,1}\cup\hdots\cup M_{n,1})\wedge x\in (M_{1,2}\cup\hdots\cup M_{n,2})\wedge\hdots\wedge x\in (M_{1,m}\cup\hdots\cup M_{n,m}) \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} x\in\bigcap\limits_{j=1}^{m}\bigcup\limits_{i=1}^{n}M_{i,j} \end{eqnarray}$ . Das ergibt sich analog, wenn $\begin{eqnarray} x\in\bigcap\limits_{j=1}^{m}M_{i,j}, i\in\left\{2,3,\hdots,n\right\} \end{eqnarray}$ .

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