Umkehrfunktion mit Betrag

14.10.2012, 18:15	ralpho	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion mit Betrag Hallo, Ich habe folgende Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x\|x\|}{1+x^2} \end{eqnarray}$ gegeben. Nun hänge ich bei der Berechnung der Umkehrfunktion etwas. Ich hab mir gedacht, ich teile die Funktion in zwei auf, also x^2 bzw -x^2 für x>0 bzw x<0. Aber hier komme ich zu keinem ordentlichen Ergebnis. Welche Vorgehensweise wäre denn empfehlenswert? Danke Ralph
14.10.2012, 19:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Woran scheitert es denn? Die Gleichung lässt sich mit der Fallunterscheidung doch problemlos umformen.
14.10.2012, 19:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ungerade: $\begin{eqnarray} f(-x) = - f(x) \end{eqnarray}$ , es genügt daher, sie für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ zu betrachten und dort die Umkehrfunktion zu bestimmen. Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ muß dann auch ungerade sein und kann durch $\begin{eqnarray} g(-x) = - g(x) \end{eqnarray}$ auf negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ fortgesetzt werden. Vorerst betrachten wir nur $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x \cdot \|x\|}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2} \end{eqnarray}$ Mit steigendem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wird von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ etwas immer Kleineres abgezogen. Daher ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend, also umkehrbar. Es geht mit $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ los. Und für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ strebt $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Damit bildet $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} [0 \, ,\infty) \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend auf das Intervall $\begin{eqnarray} [0 \, ,1) \end{eqnarray}$ ab. Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bildet daher $\begin{eqnarray} [0 \, ,1) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0 \, ,\infty) \end{eqnarray}$ ab. Jetzt löse zunächst $\begin{eqnarray} y = 1 - \frac{1}{1 + x^2} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf. Nimm weiterhin fürs erste $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ an.
14.10.2012, 21:53	ralpho	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für die Hilfe. Wenn ich das nun umforme, komme ich auf $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\frac{y}{1-y}} = x \end{eqnarray}$ . Hier muss ich jetzt den positiven Teil nehmen? Da ich ja $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ genommen habe. Wenn ich das umdrehe bzw für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ auflöse komme ich zu $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\frac{y}{-1-y}} = x \end{eqnarray}$ hier nehme ich nun vermutlich die negative Lösung. Aus diesen zwei kann ich mir dann meine FUnktion zusammensetzen richtig? Danke nochmal für die Anstoss. Ralph
14.10.2012, 22:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus

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