(Äquivalenz-)Relationen

14.10.2012, 20:17

janine2602

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(Äquivalenz-)Relationen

Meine Frage:
Ich habe jetzt im WS 12/13 angefangen, Mathe auf Lehramt zu studieren und wir müssen jede Woche ein AB abgeben. Ich habe bisher alle Aufgaben lösen können, hänge aber leider an der letzten Aufgabe fest.

Zeigen Sie:

a. <=> definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Aussagen.

b. Seien M,N Mengen und f: M -> N eine Funktion. Zeigen Sie, dass durch

x1 ~ x2 genau dann, wenn f(x1) = f8x2)

eine Äquivalenzrelation auf M definiert wird. Zeigen Sie weiter, dass

f ~ (steht über dem f) : M \ ~ -> N, [x] l-> f(x)

eine wohldefinierte Funktion ist (d.h. zeigen Sie, dass die Werte von f ~ (steht über dem f) nur von der Äquivalenzklasse [x] abhaengen, nicht von der Wahl des Repräsentanten).

Zeigen Sie, dass f ~ (steht über dem f) injektiv ist.

Meine Ideen:
Ich stehe total auf dem Schlauch, hätte jemand vielleicht einen (oder mehrere Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Tipps?

Lg

14.10.2012, 20:48

Iorek

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Fangen wir mit der a) an, wie ist eine Äquivalenzrelation definiert? Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein? Wie sieht das hier also aus?

14.10.2012, 21:37

janine2602

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Unsere Definition in der Vorlesung:
Sei M eine Menge. Eine Teilmenge R $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ M $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ M heißt eine Äquivalenzrelation, falls:

i) x ~ R y für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M (reflexiv)
ii) x ~ R y $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ y ~ R x, für alle x, y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M (symmetrisch)
iii) x ~ R y und y ~ R z $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x ~ R z, für alle x,y,z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M (transitiv)

Mit dem Aufgabenteil: "Menge aller Aussagen" sind dann diese drei Aussagen/Eigenschaften gemeint?

14.10.2012, 22:16

Iorek

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Ja, diese drei Eigenschaften sollst du nun für die Menge aller Aussagen überprüfen.

Sei also $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ diese Menge, $\begin{eqnarray*} \sim_R \end{eqnarray*}$ entspricht hier $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ .

14.10.2012, 22:32

janine2602

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Und wie genau soll man das jetzt überprüfen? :/
Muss man ~ R durch <=> ersetzen?

14.10.2012, 23:41

Iorek

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Ja, du sollst die angegebene Menge und die gegebene Relation jetzt auf diese drei Eigenschaften überprüfen. Am besten fängst du mit der Reflexivität an, die ist meistens am leichtesten.

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15.10.2012, 13:50

janine2602

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(A,B) c M x M,
A, B seien Aussagen
M sei die Menge aller Aussagen

1) reflexiv: A <=A ist wahr für alle A e M
2) symmetrisch: (A <=> B) => (B <=> A) ist wahr für alle A, B e M
3) transitiv: ((A <=> B) und (B <=> C) => (A <=> C) ist wahr für alle A,B,C e M

=> C c M x M

sorry, ist übers Handy geschrieben, deswegen könnte ich die Formeln nicht verwenden. e soll Element heißen.

15.10.2012, 13:51

janine2602

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Bei 1) sollte A <=> A stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2012, 14:40

Iorek

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Das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Etwas ähnliches sollst du bei Aufgabenteil b) nochmal für eine andere Relation machen, das funktioniert genauso. Für die zweite Aufgabe in b) solltest du mit dem Begriff der Äquivalenzklasse vertraut sein, die kommen da ins Spiel.

15.10.2012, 15:23

janine2602

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b) erster Teil:

z.z.: <=> definiert eine Äquivalenzrelation, falls f(x1) = f(x2)

1) reflexiv: x1 <=> x1 für alle x1 e f(x1)? oder x1 e M?
2) symmetrisch: x1 <=> x2 => x2 <=> x1 für alle x1 e f(x1) und für alle x2 e f(x2)? oder x1, x2 e M?
3) transitiv: x1 <=> x2 und x2 <=> x3 => x1 <=> x3 für alle x1 e f(x1), für alle x2 e f(x2), für alle x3 e? oder x1,x2,x3 e M?

(oder muss ich statt x jeweils mit f(x..) <=> f(x..) arbeiten? hier bin ich mir nicht sicher..)

Mit der Äquivalenzklasse muss ich mir später nochmal anschauen wenn ich zu Hause bin smile

smile

15.10.2012, 19:24

Iorek

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Vorsicht, $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ist jetzt nicht die Relation die wir betrachten. Was sollte $\begin{eqnarray*} x_1\Leftrightarrow x_1 \end{eqnarray*}$ denn bedeuten? $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist ja keine Aussage. Und wo kommen die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ denn her bzw. auf welcher Menge soll die Äquivalenzrelation definiert werden?

15.10.2012, 21:19

janine2602

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Mhh, Relationen ist irgendwie echt nicht so meins :/

Müsste man also an die Stelle des $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sim_R \end{eqnarray*}$ einsetzen?
Die $\begin{eqnarray*} \sim_R \end{eqnarray*}$ stammen doch aus M oder? Da f: M -> N.
Und die Äquivalenzrelation soll auf die Menge N definiert werden?

15.10.2012, 21:22

Iorek

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RE: (Äquivalenz-)Relationen

Zitat:

Original von janine2602
b. Seien M,N Mengen und f: M -> N eine Funktion. Zeigen Sie, dass durch

x1 ~ x2 genau dann, wenn f(x1) = f8x2)

eine Äquivalenzrelation auf M definiert wird.

Auf welcher Menge wird die Äquivalenzrelation also definiert? Und zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ stehen hier nun in Relation zueinander, wenn die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ gleich sind. Also $\begin{eqnarray*} x_1\sim_R x_2 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist.

15.10.2012, 21:52

janine2602

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Was genau bedeutet Relation eigentlich? bzw Beziehen?
Beschreibt das $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ hier die Beziehung von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?
Muss ich die Bedingung dann auch $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ beziehen?

Also z.b.
1) refexiv: $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sim_R \end{eqnarray*}$ xy = $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sim_R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ ? Ich habe das Thema leider noch gar nicht richtig verstanden.

Meine Freundinnen und ich haben die ganze letzte Woche an diesem Arbeitsblatt gesessen. Wir haben alle anderen Aufgaben und Themen jetzt super verstanden.. Müssen das Blatt jedoch morgen abgeben. Wir müssen aber die Punkte bekommen, weil wir sonst die Klausurzulassung evtl nicht bekommen, da die Aufgaben immer schwerer werden und wir 50% der Punkte erreichen müssen. Könntest du mir bzw uns nicht die Lösungen für die Teilaufgaben in b schicken? Wir wären dir so dankbar! Wir treffen uns eh morgen wieder und können dann versuchen, deine Lösungen nachzuvollziehen. Das wäre super lieb! Hatten mit den anderen 4 Aufgaben schon so viel zu tun :/

15.10.2012, 22:04

Iorek

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Ja, eine Relation zwischen zwei Objekten kann man auch als Beziehung zwischen diesen Objekten auffassen. Auf deine Aufgabe bezogen mal ein kleines Beispiel, wir nehmen uns mal die konkrete Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir jetzt die angegebene Relation $\begin{eqnarray*} x_1\sim x_2 \end{eqnarray*}$ gdw. $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ betrachten, dann ist etwa $\begin{eqnarray*} -1\sim 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ steht in Relation zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Warum? Für diese Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(-1)=1=f(1) \end{eqnarray*}$ , also stehen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in Relation zueinander.

Dies soll nun für eine allgemeine Funktion gemacht werden, seien also $\begin{eqnarray*} M,N \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} f:M\rightarrow N \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Die Relation bleibt bestehen, also $\begin{eqnarray*} x_1\sim x_2 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist.

Wir prüfen zuerst auf Reflexivität:
für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\sim x \end{eqnarray*}$ , somit ist die Relation schon mal reflexiv. Wie sieht es nun mit der Symmetrie und der Transitivität aus?

15.10.2012, 22:23

janine2602

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Symmetrie:

für alle $\begin{eqnarray*} x_1\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x_2)=f(x_1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_1\sim x_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2\sim x_1 \end{eqnarray*}$

Transitivität:

für alle $\begin{eqnarray*} x_1\in M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2)=f(x_3) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_3) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_1\sim x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\sim x_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_1\sim x_3 \end{eqnarray*}$

so? :/

15.10.2012, 22:29

Iorek

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Ja, das wäre so in Ordnung. smile

smile

15.10.2012, 22:32

janine2602

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Okay, super, dankeschön!
Dann werde ich es dabei belassen, den Rest mit der Äquivalenzklasse bekomme ich jetzt eh nicht mehr in meinen Kopf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber dann habe ich ja fast alles geschafft smile

smile

Vielen Dank!

15.10.2012, 22:37

Iorek

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Zitat:

Original von janine2602
Symmetrie:

für alle $\begin{eqnarray*} x_1\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ ist [latex]f(x_1)=f(x_2)

Mir fällt gerade noch eine Ungenauigkeit auf. Du setzt voraus, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist, d.h. schreib besser "für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} f(x_2)=f(x_1) \end{eqnarray*}$ " oder ähnliches. Selbiges dann auch bei der Transitivität.

15.10.2012, 22:38

janine2602

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Alles klar, dankeschön!!

15.10.2012, 23:01

janine2602

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Hey,
also ich bin jetzt die Freundin. Big Laugh

Big Laugh

Sie muss noch was für ein anderes Fach machen. Wir haben hier auch folgene Lösung, ich hoffe du kannst das öffnen:
http://puu.sh/1fe7s
Es ist von der Idee ja das selbe, aber ich verstehe nicht, warum wir das auch ohne den Beweis mit der Wahrheitstafel machen können? Oder denkst du auch mit WHT ist es besser?

Und könntest du uns die Lösung für den Teil mit der Äquivalenzklasse sagen? Ich weiß dass das nicht Sinn dieses Forums ist aber es ist schon so spät, und wir müssen die PUnkte bekommen. Dass f injektiv ist bekomme ich vielleicht noch hin zu zeigen!
Das wäre super!

LIebe Grüße!

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