(X,T) ist topologischer Raum

14.10.2012, 21:18	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
(X,T) ist topologischer Raum Tach Sei $\begin{eqnarray} X=\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ bestehend aus beliebigen Vereinigungen von Intervallen der Art $\begin{eqnarray} [a,b) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R}, a<b \end{eqnarray}$ . Zeige: (X,T) ist ein topologischer Raum. 1) $\begin{eqnarray} \emptyset = [1,1) \cup [4,4) = \end{eqnarray}$ Vereinigung von Intervallen wie nötig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \emptyset \in T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{R} = \cup_{n \in \mathbb{Z}} [n,n+1) = \end{eqnarray}$ Vereinigung von Intervallen wie nötig. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb{R} \in T \end{eqnarray}$ 2) (beliebige Vereinigung offener Mengen drin) 3) (endlicher Schnitt offener Mengen drin) Ist 1) so ok? Wie muss ich nun 2) und 3) zeigen? Was ist eine offene Menge in T bzw. (X,T)? Muss ich offene Mengen in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ betrachten? Ich würde dann einfach $\begin{eqnarray} (a_i,b_i)=\cup_{n\in\mathbb{N}}[a_i+\frac{1}{n},b_i) \end{eqnarray}$ umschreiben mit $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und dann wäre die Vereinigung über alle i auch wieder von dieser Form und in T aber das ist doch sicher nicht richtig? Auch weil man doch zeigen muss, dass diese Menge dann wieder offen ist .... (???) 3) habe ich noch keine Ideen bisher. Weiss da vlt. jemand weiter bitte? Grüsse
14.10.2012, 21:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Das ist ok. Beachte jedoch, dass es auch reicht $\begin{eqnarray} \emptyset = [1,1) \end{eqnarray}$ zu schreiben. Die Vereinigung einer einzigen Menge zählt auch. Zu 2) Da hast du wohl noch Verständnisprobleme. Die "üblichen" offenen Mengen aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ haben mit der Aufgabe nichts zu tun. Die musst du vergessen. Du musst hier zeigen, dass die beliebige Vereinigung von Mengen aus T wieder in T ist. Aufgrund der Definition von T ist das aber eigentlich ziemlich witzlos Zu 3) Es reicht bekanntermaßen nur den Schnitt von 2 Mengen aus T zu betrachten. Zeige dann (unter Verwendung von 2) ), dass es sogar reicht zwei Intervalle vom Typ $\begin{eqnarray} [a_i,b_i), i=1,2 \end{eqnarray}$ zu schneiden und zu zeigen, dass der Schnitt wieder vom Typ $\begin{eqnarray} [a,b) \end{eqnarray}$ ist. Dass letzteres gilt, macht man sich schnell klar.
14.10.2012, 21:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (X,T) ist topologischer Raum Hallo, 2) ist eigentlich trivial zu zeigen. Du musst zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ der offenen Mengen abgeschlossen bezüglich beliebiger Vereinigungen ist. Die offenen Mengen sind die Elemente der Topologie, d.h. die Elemente von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer
14.10.2012, 22:22	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke 2) $\begin{eqnarray} A_j \in T \forall j \in\mathbb{N} \Rightarrow A_j=\cup_{i \in I_j} [a_i,b_i) \forall j \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \cup_{j\in\mathbb{N}}A_j = \bigcup_{i\in \cup_{j\in\mathbb{N}} I_j} [a_i,b_i) \Rightarrow \cup_{j\in\mathbb{N}}A_j \in T \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} [a,b) \cap [c,d)= \end{eqnarray}$ ... 1.Fall $\begin{eqnarray} c\ge b \lor a \ge d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\emptyset \in T \end{eqnarray}$ (1) 2.Fall $\begin{eqnarray} a<c \land b<d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [c,b) \in T \end{eqnarray}$ 3.Fall $\begin{eqnarray} a<c \land d<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [c,d) \end{eqnarray}$ Für a,b,c,d beliebig mit a<b, c<d ist dann das auch schon gezeigt, da für $\begin{eqnarray} A=\bigcup_{i \in I} [a_i ,b_i ) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B=\bigcup_{j \in J} [a_i ,b_i ) \end{eqnarray}$ beim Schneiden $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ für 2 solche Intervallpaare genau eine der 3 Fälle zutrifft, genau $\begin{eqnarray} \vert I \vert \vert J \vert \end{eqnarray}$ mal im ganzen. Die resultierenden $\begin{eqnarray} \vert I \vert * \vert J \vert \end{eqnarray*}$ Intervalle dieser Form werden am Schluss wieder miteinander vereinigt und man hat genau wieder eine solche Menge aus T ...? War das gemeint? Grüsse

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