Einheitskugel homöomorph zu R^n

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitskugel homöomorph zu R^n
Guten Tag

Ich habe zu zeigen, dass homöomorph zu ist. ( ist irgendeine Norm)


Ich kenne einen Homöomorphismus vom Einheitswürfel auf R^n und könnte diesen mit der Lösung (Homöomorphismus von B(0,1) auf den Einheitswürfel) verbinden, die ich im Internet gefunden habe, wobei dann der Homöomorphismus

resultiert, wobei dann komponentenweise abbildet.

Wie kommt man darauf? Das mit dem Tangens ist mir klar, aber gibt es nicht einen einfacheren Weg, einen Homöomorphismus zu finden von B(0,1) auf ?

Grüsse
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Methode klappt natürlich auf jeden Fall, aber da du ja selbst noch eine Alternative willst, schlage ich dir mal folgendes vor. Das ist mMn etwas intuitiver:

Wir betrachten den Fall mal als erledigt.

Du gehst also von irgendeinem Homöomorphismus aus, der noch erfüllt und monoton steigt (Mache dir klar warum die letzten beiden Forderungen keine Einschränkung darstellen).

Dann ist natürlich ein Homöomorphismus .

Das erlaubt uns einen Homöomorphismus via zu definieren. In der Null wird gesetzt (Wegen ist dies in der Tat eine stetige Fortsetzung).

macht eigentlich nicht viel. Es guckt sich die Norm eines Vektors an (die ja zwischen 0 und 1 liegt), wendet auf diese Norm an und streckt den Vektor eben auf diese neue Norm.

Versuche mal zu zeigen, dass in der Tat ein Homöomorphismus ist. Das ist eigentlich ganz einfach. Die Stetigkeit folgt aus der Stetigkeit der Norm und der Stetigkeit von . Du musst eigentlich nur die Inverse angeben. Wenn du dies getan hast, wirst du erkennen, dass deren Stetigkeit genauso leicht einzusehen ist, wie die von .

Danach musst du natürlich noch solch ein passendes finden, d.h. den Fall wirklich abhandeln. Da wäre der Tangens wieder eine Option, es geht aber z.B. auch mit einer gebrochenrationalen Funktion.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert denn:

mit wobei

Korrekt so?
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