Totales Differential und Taylorpolynom?

15.10.2012, 14:58	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differential und Taylorpolynom? Hi Leute, in der Analysis mehrerer veränderlicher ist mir der Begriff des totalen Differentials untergekommen. Ich dachte mir dazu: "hey, wieso wende ich das totale Differential nicht mal auf Funktionen einer veränderlicher an" Wenn ich zum Beispiel einen Funktionswert ermitteln möchte, sagen wir $\begin{eqnarray} f(2,1)=x^2=4,41 \end{eqnarray}$ . Dann ist der Funktionswert $\begin{eqnarray} f(2,1)\approx f(2)+dz \end{eqnarray}$ Wenn ich nun $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ berechne erhalte ich, $\begin{eqnarray} f(2)=4 \end{eqnarray}$ . Nun das totale Differential. $\begin{eqnarray} dz=2xdx \end{eqnarray}$ demnach erhalte ich, $\begin{eqnarray} dz=2(2)(0,1)=0,4 \end{eqnarray}$ Eingesetzt in $\begin{eqnarray} f(2,1)\approx f(2)+dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,41\approx 4,4 \end{eqnarray}$ Was meiner Meinung nach schon eine sehr gute Annäherung ist. Die Frage ist nun, die Form $\begin{eqnarray} f(2,1)\approx f(2)+dz \end{eqnarray}$ erinnert mich ziemlich stark an das Taylorpolynom was mir ja auch eine Annäherung liefert. Wie kann aber das totale Differential aus der Analysis mehrerer veränderlicher die selbe Form wie das Taylorpolynom einer veränderlicher haben? Das kann doch kein Zufall sein. Nachtrag: Es erninnert mich auch an den Differentialquotienten. $\begin{eqnarray} f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) \cdot\Delta x+f(x)=f(x+\Delta x) \end{eqnarray}$

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