bedingter Erwartungswert

15.10.2012, 17:38

dr.morrison

bedingter Erwartungswert

Hi zusammen, ich habe mir gerade einen board-Artikel durchgelesen, zu folgender Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ jeweils gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ; man bestimme $\begin{eqnarray*} E(X|\max(X,Y) \end{eqnarray*}$ . Dort wird die Verteilungsfunktion (resp. bedingte Verteilungsfunktion) $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=0,x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=x/2m,0\leq x<m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=1,x\geq m \end{eqnarray*}$ angegeben. Das wollte ich nachvollziehen und bin auf ein Problem gestoßen. Wenn ich das nach Definition der bedingten W'keit ausrechnen will, stoße ich auf den Term
$\begin{eqnarray*} P(\max(X,Y)=m) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich den vereinfachen will, so bekomme ich etwa
$\begin{eqnarray*} P(X=m \&Y=m)+P(X<m\&Y=m)+P(X=m\&Y<m)=0 \end{eqnarray*}$ wegen Unabhängigkeit, da z.b. $\begin{eqnarray*} P(X=m)=0 \end{eqnarray*}$ . Mir ist klar, dass das irgendwie Blödsinn ist, aber nicht, wie's richtig geht. Wäre schön, wenn das jemand berichtigen könnte.
Lieber Gruß, drm

15.10.2012, 17:45

HAL 9000

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Das Grundproblem ist, dass die Rechnung $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ nicht mehr funktioniert, wenn $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Eben deswegen ist in solchen Fällen eine sinnvolle Definition dieser Wahrscheinlichkeit nur über die bedingte Erwartung möglich, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(A \mid B) := E(1_A \mid B) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von dr.morrison
Dort wird die Verteilungsfunktion (resp. bedingte Verteilungsfunktion) $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=0,x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=0,0\leq x<m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|M=m)=0,x\geq m \end{eqnarray*}$ angegeben.

Bisschen viel Copy+Paste, wenn da überall die bedingte Wahrscheinlichkeit 0 herauskommen soll - das solltest du korrigieren, so stimmt es nämlich nicht. unglücklich

EDIT: Wenn ich das richtig überblicke, dann sollte da

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| M=m) = \begin{cases} 0 &\; \mbox{für}\,x<0 \\[2ex] \displaystyle\frac{x}{2m} &\; \mbox{für}\,0\leq x<m \\[3ex] 1 &\; \mbox{für}\,x\geq m \end{cases} \end{eqnarray*}$

stehen.

15.10.2012, 18:13

dr.morrison

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Oh ja, da hast Du wohl recht, da hab ich mich vertippt. Aber wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} E(1_{A}|B) \end{eqnarray*}$ , denn das sehe ich nicht direkt. Wir haben in der VL definiert, dass
$\begin{eqnarray*} E(X|A)=\frac{E(1_{A}X)}{P(A)} \end{eqnarray*}$ , falls P(A)>0, und 0 sonst. Setze ich dann die Ereignisse ein, so komme ich wieder auf die gewöhnliche Formel (da drehe ich mich wohl gerade etwas im Kreis)

15.10.2012, 19:10

HAL 9000

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Betrachten wir mal ein festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und variables $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ : Eine bedingte Erwartung

$\begin{eqnarray*} g(m) := E( 1_{X\leq x} \bigm| M=m) = P(X\leq x \bigm| M=m) \end{eqnarray*}$

ist gemäß Definition nicht eindeutig bestimmt, sondern stimmt mit einer anderen Realisierung $\begin{eqnarray*} \tilde{g} \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} P_M \end{eqnarray*}$ -fast überall überein. Unter gewissen Zusatzbedingungen kann man aber nun Eindeutigkeit und in der Folge Berechenbarkeit erzwingen. Betrachten wir das ganze z.B. für $\begin{eqnarray*} x<m \end{eqnarray*}$ und fordern Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Dann folgt für genügend kleine $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x, m\leq M\leq m+h) = \int\limits_m^{m+h} P(X\leq x \bigm| M=t) ~ P_M(\dd t) = \int\limits_m^{m+h} g(t) ~ P_M(\dd t) \end{eqnarray*}$

und dem Zwischenwertsatz die Existenz eines $\begin{eqnarray*} t' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m<t'<m+h \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x, m\leq M\leq m+h) = g(t')\cdot P_M([m,m+h]) = g(t')\cdot P(m\leq M\leq m+h) \end{eqnarray*}$

Nehmen wir nun den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ vor, so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} g(m) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{P(X\leq x, m\leq M\leq m+h)}{P(m\leq M\leq m+h)} = \lim\limits_{h\to 0} P(X\leq x \bigm| m\leq M\leq m+h) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit kannst du nun berechnen, und im Grenzwert kommst du dann auf

$\begin{eqnarray*} g(m) = P(X\leq x \bigm| M=m) \end{eqnarray*}$ ,

wobei sich im Nachhinein die Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ erweisen sollte - denn nur unter der Prämisse ist das ganze ja gültig. Irgendwie ist Formel (*) ja auch heuristisch einleuchtend - ich habe mit den vorstehenden Erläuterungen versucht, das ganze auf den etwas festeren Boden zu bringen, auf dem die bedingte Erwartung gemäß ihrer eigentlichen Definition verankert ist. Augenzwinkern

Nach dieser langen (hoffentlich ein wenig verständlichen) Vorrede kannst du ja mal probieren, das ganze via (*) auszurechnen. Wie gesagt, erstmal im Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<m \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x\geq m \end{eqnarray*}$ sollten ohnehin vom zu erwartenden Ergebnis her klar sein.

15.10.2012, 19:20

dr.morrison

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Vielen Dank für die ausführliche und verständliche Erklärung! Jetzt hab' ich es endlich kapiert.

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