keine Stetigkeit bei lin. Operatoren

15.10.2012, 17:53

Gast11022013

keine Stetigkeit bei lin. Operatoren

Meine Frage:
Bei endlichdimensionalen Vektorräumen sind lineare Operatoren stetig. Dies gilt nicht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen. Zeigen Sie dies an einem Beispiel!

Ich freu' mich auf Euer Feedback.

Meine Ideen:
Ich habe mir da folgende Sache überlegt.

Betrachte den normierten Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[x],\lVert\cdot\rVert_{\infty}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ sowie den linearen Operator $\begin{eqnarray*} T\colon\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x], p(x)\mapsto p'(x) \end{eqnarray*}$ .

Dann erhält man einen metrischen Raum durch $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[x], \lVert a-b\rVert_{\infty}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .

Betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} p_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}x^n \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}p_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \lVert p_n\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\left\lvert\frac{1}{\sqrt{n}}x^n\right\rvert=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0, n\to\infty \end{eqnarray*}$ und somit gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall~\varepsilon>0~\exists~n_0\in\mathbb{N}: \lVert p_n\rVert_{\infty}<\varepsilon~\forall~n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

Allerdings gilt $\begin{eqnarray*} \lVert p'_n\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\left\lvert \sqrt{n}x^{n-1}\right\rvert=\sqrt{n}\to\infty, n\to\infty \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} p_n(x)\to 0\not\Rightarrow \underbrace{T(p_n(x))}_{=p'_n(x)}\to T(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

15.10.2012, 19:57

sergej88

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RE: keine Stetigkeit bei lin. Operatoren
Im Grunde richtig, aber ich bin mal wegen der Notation pinglelig smile

Zitat:

Original von Dennis2010
Betrachte den normierten Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[x],\lVert\cdot\rVert_{\infty}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$

für die Funktionalanalysis wäre die Formulierung:
Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Raum der reelwertigen Polynome auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Supremumsnorm
geläufiger.

Zitat:

sowie den linearen Operator $\begin{eqnarray*} T\colon\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x], p(x)\mapsto p'(x) \end{eqnarray*}$

p(x) ist ein Funktionswert, du brauchst aber Funktionen, also lieber
$\begin{eqnarray*} p \longmapsto p' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann erhält man einen metrischen Raum durch $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}[x], \lVert a-b\rVert_{\infty}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .

überflüssig, der erste Satz sagt du hast einen normierten Raum, mehr brauchst du ja nicht.

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}p_n(x)=0 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \lVert p_n\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\left\lvert\frac{1}{\sqrt{n}}x^n\right\rvert=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0, n\to\infty \end{eqnarray*}$

Das erste es gilt ist schwächer als deine Begründung. Schreib einfach
$\begin{eqnarray*} p_n \to 0 \end{eqnarray*}$
anstelle das mit dem Limes.

Zitat:

und somit gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall~\varepsilon>0~\exists~n_0\in\mathbb{N}: \lVert p_n\rVert_{\infty}<\varepsilon~\forall~n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

auch überflüssig, den oben steht eine äquivalente umformulierung bereits.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p_n(x)\to 0\not\Rightarrow \underbrace{T(p_n(x))}_{=p'_n(x)}\to T(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Hier wieder zwischen Funktionswerten und Funktionen unterscheiden.

mfg

15.10.2012, 20:42

Gast11022013

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RE: keine Stetigkeit bei lin. Operatoren
Danke, eine Nachfrage.

Zitat:

Original von sergej88

Zitat:

Das erste es gilt ist schwächer als deine Begründung. Schreib einfach
$\begin{eqnarray*} p_n \to 0 \end{eqnarray*}$
anstelle das mit dem Limes.