Reihen auf Konvergenz überprüfen

15.10.2012, 18:42

Triz

Reihen auf Konvergenz überprüfen

Also es sind zwei Reihen die ich auf Konvergenz überprüfen soll:
Nummer 1:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$
Nummer 2:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{1+ln(n)} \end{eqnarray*}$

die erste Aufgabe hab ih mittel Quotientenkriterium gelöst:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2^{2(n+1)}}{(n+1)!}}{\frac{2^{2n}}{n!}}| =\lim_{n \to \infty} |\frac{2}{n+1}|=\lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}| = 0 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt und $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ ist müsste es ja eigentlich konvergent sein oder ?
aber ich versteh nicht was dann der Konvergenzradius ist ? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ geht ja nicht..

Bei der zweiten Aufgabe kommt 1 raus. Denke aber nicht das man das bei einer Prüfung so lassen kann. Kann ich es irgendwie zeigen das es divergent ist ? müsste ja eigentlich divergent sein..
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{1+ln(n)} = \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{1}{1+ln(n+1)}}{\frac{1}{1+ln(n)}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{1+ln(n)}{1+ln(n+1)}| \end{eqnarray*}$
L'Hospital
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}|= \lim_{n \to \infty} |\frac{1+\frac{1}{n}}{1}| = 1 \end{eqnarray*}$
verwirrt

15.10.2012, 18:47

lgrizu

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RE: Reihen auf Konvergenz überprüfen
Okay, scheinbar bringst du hier die Konvergenz einer Reihe und die Berechnung des Konvergenzradius einer Potenzreihe durcheinander.

Eine Reihe aht die Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine folge ist.

Eine Potenzreihe hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Folge ist und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt. Bei einer Potenzreihe ist der Konvergenzradius der Radius um den Entwicklungspunkt, innerhalb dessen die Reihe konvergiert, bei einer Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ von einem Konvergenzradius zu sprechen ist also ziemlich sinnfrei.

Desweiteren stimmt bei Aufgabe 1 schon dein erstes Gleichheitszeichen nicht....

15.10.2012, 18:59

Triz

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ok danke für die Aufklärung über den Konvergenzradius

welches erste Gleichheitszeichen meinst du ? verwirrt

15.10.2012, 19:01

lgrizu

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RE: Reihen auf Konvergenz überprüfen

Zitat:

Original von Triz

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2^{2(n+1)}}{(n+1)!}}{\frac{2^{2n}}{n!}}| \underbrace{ =}_{\textbf{dieses hier}}\lim_{n \to \infty} |\frac{2}{n+1}|=\lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}| = 0 \end{eqnarray*}$

15.10.2012, 19:10

Triz

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So besser ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{\frac{2^{2(n+1)}}{(n+1)!}}{\frac{2^{2n}}{n!}}|=\lim_{n \to \infty}|\frac{n!*2^{2n}*2}{2^{2n}*n!*(n+1)}|=\lim_{n \to \infty}|\frac{2}{(n+1)}| \end{eqnarray*}$

oder stimmt da generell was nicht ? verwirrt

15.10.2012, 19:22

lgrizu

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Da steht ja nun das gleiche und wieder stimmt das erste Gleichheitszeichen nicht....

Es ist $\begin{eqnarray*} 2^{2(n+1)}=2^{2n+2}=2^{2n} \cdot 4 \end{eqnarray*}$ , was muss also im Zähler stehen?

15.10.2012, 19:32

grenzer

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stimmt

15.10.2012, 19:36

Triz

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was stimmt ? ^^

Danke Igrizu. blöder Fehler Hammer

Die Konvergenz ist aber dann durch das Endergebnis von 0 bewiesen ?

15.10.2012, 20:18

lgrizu

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Man kann auch $\begin{eqnarray*} n_0>4 \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{4}{n+1} \right| < \frac{4}{5} <1 \end{eqnarray*}$

Damit hat man dann ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ und ein festes $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ gefunden.

Aber Grenzwertbildung haut natürlich auch hin.....

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