Basiswechsel

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Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich habe einige Verständisprobleme zum Thema Basiswechsel, welche ich an Hand folgender Aufgabe erläutern möchte:
Gegeben ist die lineare Abbildung
bzgl. der Standardbasis des und des .
Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix bzgl. der Basen
des und des

Meine Ideen:
Ich gehe nach folgendem Diagramm vor:
[attach]26212[/attach]
Dabei ist








Und mit

ist

Stimmt das soweit oder liegt hier jetzt schon irgendwo ein Fehler?

Jetzt zu meinen Fragen:
Wenn ich jetzt die Matrix S mit einem der Basisvektoren also multipliziere müsste ich, nach meinem Verständnis, einen Einheitsvektor des herausbekommen, doch leider ist dies nicht so, warum?
Auf der anderen Seite des Diagramms genau so, wenn ich T mit einem Basisvektor also multipliziere müsste ich doch eigentlich einen Einheitsvektor des erhalten...
Und das gleiche bei der Multiplikation von A' mit den gegebenen Basisvektoren des , dann müssten doch die gegebenen Basisvektoren des herauskommen, oder?
Wo liegt mein Denkfehler?
Ich wäre echt über jede Hilfe dankbar!
Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn wirklich gar niemand helfen? unglücklich
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo basiswechsellady,
kann das sein, das du in deinem diagramm die pfeilrichtungen vertauscht hast
und daher deine probleme kommen, denn S müsste ja eigentlich von v_j nach
v_k´ zeigen und R wiederum von w_i nach w_l´? verwirrt
gruss ollie3
Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,

erstmal danke dass du mir geantwortet hast! Gott Ich war echt schon am verzweifeln...

Der Pfeil von muss in die andere Richtung zeigen, so wie in dem neuen Bild...
[attach]26225[/attach]
Aber die anderen Pfeile habe ich in meinem Skript auch so gefunden, die müssten also eigentlich stimmen
Wo also liegt mein Fehler?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe erst jetzt deine eigentliche frage verstanden, wenn du die neuen basisvektoren hast und wieder die ursprünglichen erzeugen willst, musst
du die neuen natürlich mit S^-1 und nicht mit S multiplizieren, denn mit
S transformiest du "alt in neu" und durch S^-1 "neu in alt", und nicht indem
du 2 mal mit S multiplizierst.
gruss ollie3
Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

so weit klar, dann stellt sich mir aber die Frage warum die Pfeile genau in die andere Richtung zeigen?? unglücklich

Oder ist das Diagramm nur zum Berechnen der verschiedenen Matrizen und zum Beispiel zur Berechnung der alten Basisvektoren mit Hilfe der neuen und der Matrix S muss ich dann gerade alle Pfeile umdrehen??? verwirrt

Jetzt bin ich irgendwie ganz verwirrt...
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe mir die sache nochmal angeguckt, das diagramm ist doch richtig, zunächst
wendet man S auf v_k´ an und erhält dann v_j, dann wendet man A auf
v_j an und erhält w_j, und zum schluss R^-1 auf w_j und erhält dann w_l´,
denn man muss hier also erst "neu auf alt" umrechnen, die abbildung durchführen
und dann wieder "alt auf neu" umrechnen, so stimmt die sache dann.
gruss ollie3
Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich mit z.B. den neuen Basisvektor multipliziere, erhalte ich doch und nicht .
Wohin gegen, wenn ich mit multipliziere erhalte ich den Einheitsvektor...
Also kann doch irgendwo was nicht stimmen oder denke ich total falsch?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
nein, durch S rechnet man ja den vektor bzgl. der neuen basis auf die alte basis
um, z.B. wenn man (1, 0, 0) mit S multipliziert, ehält man ja (-1,0,2), und
das will man ja haben. Und wie gesagt, danach wendet man A an und rechnet
dann das ergebnis durch R^-1 wieder auf die neue basis um.
gruss ollie3
Basiswechsellady Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so.....ich glaube so langsam machts klick...
D.h. also dass da gar nicht die ursprünglichen Basisvektoren rauskommen müssen sondern einfach neue bzgl. der neuen Basis?! Was ein bescheuerter Denkfehler Hammer
Danke schön!!!! Gott
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