Dilatation Pseudovektor

Neue Frage »

Kalli123 Auf diesen Beitrag antworten »
Dilatation Pseudovektor
Meine Frage:
Hallo,
ich höre gerade in meinem Auslandsjahr in Frankreich eine Vorlesung die mathematische Grundlagen für Physiker liefern soll. Im Moment beschäftigen wir uns mit differentieller Geometrie und Tensorfeldern. Ich bin Physiker im ersten Jahr Maste, was heißt das meine mathematischen Kenntnisse beschränkt sind. Zum Problem:
Der Professor hat die Dilatation eingeführt mit:
Wir sind im Raum mit den Koordinaten .
Die Dilatation ist dann:

Als Nächstes hat er betrachtet:

Dann ist:

Mit der Begrüdnung:

Danach sind wir zu den (in französisch) 1-formes gegangen (kontravarianter Vektor)
Basis:

Hiervon die Dilatation sei:

Als einfach Aufgabe hat er uns gegeben, das ganze mit den 2-formes zu machen (= pseudovektor)
Basis hierzu ist
Nur ist diese Aufgabe für mich nicht so leicht wie er gemeint hat, da ich das mit der Dilatation nicht verstehe..

Meine Ideen:
Ich verstehe momentan weder die Dilatation eines kontravarianten Vektors noch wie man die Dilatation eines Pseudovektors bildet.

Grüße
Christoph
Kalli123 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich habe 3 Fehler in der Frage entdeckt:

Bei der ersten Begründung der Dilatation mit V fehlt nach dem letzten Gleichheitszeichen das Summenzeichen
kontravarianter Vektor:



und die Dilatation eines kontravarianten Vektors ist:


Ich war wohl etwas schnell und unvorsichtig mit dem Schreiben. Da ich aber bis gerade eben noch als Gast angemeldet war, kann ich den Beitrag nicht editieren
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erkläre es an einem Beispiel: Die mechanische Arbeit berechnet man bekanntlich gemäß "Arbeit=Kraft mal Weg". Für einen differenziell kurzen Weg bedeutet dies



Führt man eine Koordinatentransformation durch - hier speziell eine Dehnung der Koordinatenachsen um den Faktor , also , so ändern sich die Koordinaten des Weg- und des Kraftvektors unterschiedlich. Aus der obigen Formel wird



Der Faktor kürzt sich heraus, so dass die physikalische Arbeit durch die Transformation nicht verändert wird (wie es sein muss). Offenbar wird der Wegvektor um den Faktor gestreckt und der Kraftvektor um den Faktor gestaucht. Der Gradient und das Differenzial transformieren sich also entgegengesetzt (kontargredient) also





Man kann dies wie bei einer geneigten Ebene interpretieren: Je länger der Weg, um so geringer die Kraft (=Energieerhaltungssatz). In diesem speziellen Fall war die Koordinatentransformation eine Dilatation, also eine Dehnung (lat. dilatare=verlängern). Man kann die obige Betrachtung auch für beliebige Transformationen machen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »