Ansatz für Mantelfläche einer Funktion

16.10.2012, 01:05	greeven	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz für Mantelfläche einer Funktion Meine Frage: Ich stieß auf die Formel für die Berechnung der Mantelfläche die entsteht wenn man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren lässt. Link zu Wikipedia Der Ansatz zur Herleitung dieser Formel besteht aus Scheiben die kegelstumpfförmig sind. Mir leuchtet aber nicht ein warum man nicht einfach Scheiben nehmen kann, die zylinderförmig sind. Deshalb meine Frage: Warum benutzt man Scheiben die zylinderförmig sind und nicht kegelstumpfförmig für die Berechnung der Mantelfläche? (entschuldigt das Wort "kegelstumpfförmig") Meine Ideen: Bei der Berechnung der Fläche unter einem Graphen benutzt man Streifen (Streifenmethode) und keine Trapeze. Damit im Hinterkopf will mir einfach nicht einleuchten warum man für die Berechnung der Mantelfläche nicht auch zylinderförmige Scheiben benutzen kann.
16.10.2012, 12:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lässt man eine Funktion f(x) um die x-Achse rotieren, entsteht eine Rotationsfläche. Zerlege die Funktion f(x) in Gedanken in einen Polygonzug, so dass die Rotationsfläche in viele schmale Mantelflächen von Kegelstümpfen zerfällt. Ein einziger Kegelstumpf zwischen x und x+dx hat den Umfang $\begin{eqnarray} u=2\pi f(x) \end{eqnarray}$ und nach dem Satz des Pythagoras die Mantellänge $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{(dx)^2+[f(x+dx)-f(x)]^2} \end{eqnarray}$ . Mit der Taylortentwicklung $\begin{eqnarray} f(x+dx)=f(x)+f'dx \end{eqnarray}$ wird daraus $\begin{eqnarray} ds=\sqrt{1+f'^2}dx \end{eqnarray}$ . Also ist die Mantelfläche des differenziell dünnen Kegelkstumpfes (nach dem Abwickeln in die Ebene) $\begin{eqnarray} \text{Differenzielle Mantelfläche}=\underbrace{2\pi f(x)}_{\text{Umfang u(x)}} \underbrace{\sqrt{1+f'^2}dx}_{\text{Mantellänge ds}} \end{eqnarray}$ Für die gesamte Fläche ist das zu integrieren: $\begin{eqnarray} \text{Mantelfläche}=2\pi \int_{x_1}^{x_2} \! f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}\, dx \end{eqnarray}$
16.10.2012, 12:55	greeven	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Herleitung kann ich nachvollziehen. Darum ging es mir nicht. Trotzdem danke! Mir ging es darum, warum man nicht die Mantelflächen von Zylinderscheiben benutzt. Wie zum Beispiel bei der Flächenberechnung unter einem Graphen. Dort benutzt man Rechtecke um sich anzunähern und keine Trapeze. Mittlerweile in ich dem ganzen aber näher gekommen: Für die Berechnung von Flächen unter einem Graphen benutzt man Flächen. (2D zu 2D) Bei Rotationskörper benutzt man Zylinderscheiben um das Volumen zu berechnen. (3D zu 3D) Bei der Mantelfläche von Rotationskörpern brauch man Trapeze und nicht einfach nur Zylinder, da es sich um 3D zu 2D handelt. Das ist so mein Stand momentan.
17.10.2012, 09:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man den Rotationskörper in viele flache Zylinder zerlegen würde und deren Mantelflächen in die Ebene abwickelt, wäre die Breite der abgewickelten Streifen gerade dx. Das ist zu schmal! Zerlegt man nämlich den Rotationskörper in viele flache Zylinderstümpfe, erhält man beim Abwickeln der Mantelfläche breitere Streifen mit der Breite $\begin{eqnarray} \sqrt{1+f'^2}dx \end{eqnarray}$ . Genau das ist der Unterschied, den ich dir zu erklären versucht habe.
17.10.2012, 10:59	greeven	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dankeschön! Die Antwort befriedigt mich. Womit ich mich abgefunden habe ist, dass ich meiner Meinung nach noch nicht ganz verstehe warum die Fläche zu schmal ist, wenn man sie mit Zylinderscheiben berechnet. Also vom Gefühl her kann ich es nachvollziehen, es ergibt schon Sinn. Aber einen Beweis oder einen Satz wo drin steht "aus diesem und jenen Grund muss man das so machen" fehlt mir noch um es gänzlich zu verstehen. Ist aber nicht schlimm. Ich weiß ja jetzt warum man Kegelstümpfe benutzen muss. Danke nochmal.

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