Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz

16.10.2012, 01:17

Staubfrei

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Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz

Meine Frage:
Gegeben ist die Doppelsumme

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{j=k}^n \begin{pmatrix} j \\ k \end{pmatrix} \frac{j}{2^{j}} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist und die Doppelsumme selbstverstaendlich zu einem Polynom in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vereinfacht werden soll.

Zudem weiß ich, dass ich dazu den Binomischen Lehrsatz

$\begin{eqnarray*} \left( x+y \right)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{k} y^{n-k} \end{eqnarray*}$

anwenden muss. Wie genau das funktionieren soll, ist mir aber noch nicht klar.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war, die Summationsreihenfolge zu vertauschen und den letzten Ausdruck vor die innere Summe zu ziehen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k}^n \frac{j}{2^{j}} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} j \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings bringt mich dieser Schritt eigentlich nur noch weiter vom Binomischen Lehrsatz weg.

Meine zweite Idee war, die innere Summe durch Indexverschiebungen dem Binomischen Lehrsatz anzugleichen, was mir bis jetzt aber noch nicht gelungen ist. Ich scheitere dabei hauptsächlich an dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} j \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der ja, so glaube ich zumindest, zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ werden sollte.

Ich hoffe, ich bin mit meinem Ansatz nicht völlig auf dem Holzweg.

16.10.2012, 06:29

Leopold

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Die Idee, die Reihenfolge der Summationen zu vertauschen, ist goldrichtig. Allerdings hast du sie falsch umgesetzt. Rein äußerlich sieht man das schon daran, daß nach der Vertauschung die äußere Summe, also die mit dem Index $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , den Startwert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ besitzt, obwohl ja $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ erst in der inneren Summe festgelegt wird. So etwas kann gar nicht sein.
Beachte, daß in der originalen Doppelsumme der Startwert der inneren Summe vom Index der äußeren Summe abhängt. Du kannst die Summationen daher nicht formal vertauschen. Richtig ist vielmehr

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \sum_{j=k}^n = \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^j \end{eqnarray*}$

Vielleicht findest du selber heraus, warum das so ist.

16.10.2012, 14:32

Babbel15

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Doppelsumme
bin momentan mit genau dem selben Beispiel beschäftigt und auch auf einem Holzweg, hast du es mittlerweile geschafft Staubfrei?

16.10.2012, 14:51

Gast11022013

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RE: Doppelsumme
Leopold hat es doch bereits hingeschrieben, das musst Du doch jetzt nur noch anwenden bzw. dir auch klar machen, wenn es nicht klar ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}\sum\limits_{j=k}^{n}\binom{j}{k}\frac{j}{2^j}=\sum\limits_{j=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k}\frac{j}{2^j} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt den zweiten Faktor vor die zweite Summe ziehen und eine Folgerung des binomischen Lehrsatzes anwenden, die Dir sagt, was die übrigbleibende zweite Summe ist. Kürzen und dann an den kleinen Gauß erinnern.

16.10.2012, 15:37

Babbel15

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Das ist mir schon klar, jedoch lautet ja der binomische lehrsatz $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} y^{k} = (x+y)^{n} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Summe fehlen mir dann ja x ^(n-k) * y ^k um den binomischen Lehrsatz anzuwenden?

16.10.2012, 15:38

Gast11022013

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Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ ?

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16.10.2012, 15:44

Babbel15

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habe mir zuvor gedacht es so umzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{j}{2^{j} } j*2^{-j} \end{eqnarray*}$

in der Hoffnung es sei = dem x ^(n-k) * y ^k?

16.10.2012, 15:46

Gast11022013

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Das verstehe ich nicht.

Also ich sehe gerade die Problematik nicht.

Den binomischen Lehrsatz kennst Du ja, Du hast ihn ja eben nochmal hingeschrieben. Wende ihn doch einfach mal an auf den Fall, dass $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ , was ergibt sich denn dann?

16.10.2012, 15:50

Babbel15

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sry soll natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{j}{2^{j} } = j * 2^{-j} \end{eqnarray*}$ heißen

16.10.2012, 15:51

Gast11022013

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Liest Du meine Beiträge denn auch? Big Laugh

Big Laugh

16.10.2012, 15:54

Babbel15

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klar les ich deine beiträge Freude

Freude

war nur im moment sehr überzeugt mit dieser umänderung auf den richtigen weg zu sein ^^

16.10.2012, 15:56

Gast11022013

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Der richtige Weg ist es, zu überlegen, wie man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k} \end{eqnarray*}$ noch ausdrücken kann. Und hier wendet man eben den binomischen Lehrsatz an: Man hat hier den Spezialfall vorliegen, dass $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man im nächsten Schritt kürzen.

16.10.2012, 16:08

Babbel15

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ok bin jetzt zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^n \frac{j}{2} * (x+y) \end{eqnarray*}$ gekommen. Da x=y=1 ist kann ich ja den 2 unterm j mit den x+y kürzen?

16.10.2012, 16:10

Babbel15

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also ist die Vereinfachung der Doppelsumme j^n?

16.10.2012, 16:18

Gast11022013

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Stopp, stopp. Das geht in die falsche Richtung und macht keinen Sinn!

Ich schreibe es nochmal hin und erkläre Dir, was ich meine.

Wir sind also angelangt bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}\sum\limits_{j=k}^{n}\binom{j}{k}\frac{j}{2^j}=\sum\limits_{j=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k}\frac{j}{2^j} \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt kannst Du den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{j}{2^j} \end{eqnarray*}$ vor die zweite Summe ziehen, denn dieser Faktor hängt ja nicht von k ab. Dann hast Du:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k}\frac{j}{2^j}=\sum\limits_{j=0}^{n}\frac{j}{2^j}\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist die Frage, wie man weiter machen kann.

Schau Dir die zweite Summe an.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k}=2^j \end{eqnarray*}$

Wieso?

Das ist doch nichts Anderes als die Anwendung des Binomischen Lehrsatzes für $\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 2^j=(1+1)^j=\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k}\underbrace{1^{j}1^{j-k}}_{=1}=\sum\limits_{k=0}^{j}\binom{j}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

Dann kannst Du jetzt kürzen und hast nur noch eine Summe da stehen, auf die Du den kleinen Gauß anwenden kannst. Dann hast Du ein Polynom in n.

16.10.2012, 16:27

Babbel15

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passt dankeschön alles klar, hab nur statt 2^j noch (1+1)^j stehen gehabt

vielen dank für deine hilfe und geduld mit mir Freude

Freude

16.10.2012, 16:29

Staubfrei

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RE: Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz
Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen! Die Antwort von Leopold hat ausgereicht, um die Aufgabe zu lösen. Auf die richtige Vertauschung der Summen wäre ich wohl nicht von selbst gekommen.

16.10.2012, 16:30

Gast11022013

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Wo hast Du $\begin{eqnarray*} (1+1)^j \end{eqnarray*}$ stehen gehabt? Ich hab das nirgends gesehen in Deinen Beiträgen.

Naja, egal. Hast Du jetzt das Endergebnis? Wie sieht das Polynom aus?

16.10.2012, 16:31

Gast11022013

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RE: Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz

Zitat:

Original von Staubfrei
Vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen! Die Antwort von Leopold hat ausgereicht, um die Aufgabe zu lösen. Auf die richtige Vertauschung der Summen wäre ich wohl nicht von selbst gekommen.

Ja, Leopolds Antwort war der wichtigste Beitrag dieses Threads.

Ehre, wem Ehre gebührt. Freude

Freude

16.10.2012, 16:33

Babbel15

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RE: Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz
habs noch in form von (x+y) stehen gehabt und mir nur dabei gedacht, dass es 2 ist. Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ hoffe dass es stimmt

16.10.2012, 16:37

Gast11022013

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RE: Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz
Nicht ganz.

Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und ich würde das noch schreiben als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n \end{eqnarray*}$ , damit es auch wie ein Polynom aussieht.

16.10.2012, 16:40

Babbel15

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meiner meinung nach ist es mit dem minus korrekt, da es nicht bei k=1 sondern bei k=0 anfängt

16.10.2012, 16:40

Gast11022013

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n}j=\sum\limits_{j=1}^{n}j \end{eqnarray*}$ .

16.10.2012, 16:43

Babbel15

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achso hab jetzt gedacht, dass es nicht gleich sei und bin bei j=0 gestartet.
Dann ist mir alles klar smile

smile

16.10.2012, 16:45

Gast11022013

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Ob man den Summanden 0 dazunimmt oder nicht, ist für die Summe ja unerheblich.

Wink

Wink

16.10.2012, 16:48

Babbel15

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doch, da es meiner meinung nach dass n verändert. Bsp. bei n = 5 gilt j=0+1+2+3+4 = 10

bei n(n+1)/2 wäre es jedoch (5*6)/2 = 15

bei n(n-1)/2 jedoch (5*4)/2 = 10

16.10.2012, 16:49

Gast11022013

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Das macht auch wieder keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{5}j=0+1+2+3+4+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{5}j=1+2+3+4+5 \end{eqnarray*}$

und das ist identisch.

n bezeichnet nicht die Anzahl der Summanden, sondern das Ende des Summationsindexes.

16.10.2012, 19:32

Staubfrei

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RE: Doppelsumme mit Binomischem Lehrsatz
Die Aufgabe ist zwar gelöst, aber ich versuche nun schon eine ganze Weile zu verstehen, warum man die Summen auf diese Weise vertauschen kann. Kann mir das jemand erklären? Schließlich ist dies der wichtigste Punkt der Aufgabe.

16.10.2012, 21:26

Leopold

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Bei der Summation handelt es sich um ein Dreiecksschema. Betrachte die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & \ldots & a_{0n} \\ & a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ & & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & & & \vdots \\ & & & & a_{nn} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \sum_{j=k}^n a_{kj} \end{eqnarray*}$ wird zeilenweise aufsummiert, bei $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^j a_{kj} \end{eqnarray*}$ dagegen spaltenweise.

17.10.2012, 06:44

Gast11022013

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Ich finde das super erklärt.

Freude

Freude

17.10.2012, 12:10

Staubfrei

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Vielen Dank!

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