Dichtefunktion

16.10.2012, 12:26

sunshine1408

Erwartungswert/Varianz/Dichtefunktion

Meine Frage:
Sei fa(x)=a/x für $\begin{eqnarray*} 1\leq x \leq 3 und fa(x)=0 sonst. \end{eqnarray*}$

a)Für welchen Wert von a* ist fa* die Dichte einer Zufallsvariablen X auf [1,3]
b)Berechnen Sie die Verteilungsfunktion dieser Dichte.
c) Berechnen Sie die den Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit dieser Dichte.
d)Berechnen Sie die Varianz einer Zufallsvariablen mit dieser Dichte.

Bin mir absolut nicht sicher ob ich das richtig gerechnet habe.

Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \int_1^3 \! a/x \, dx =1<br /> <br /> a=\frac{1}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

b) f(a)= a+ln(3) oder muss ich hier mit anderen Grenzen integrieren? Die Dichtefunktion ist doch die Ableitung von der Verteilungsfunktion soweit ich weiß.

c) $\begin{eqnarray*} \int_1^3 \! a/x*x \, dx =a=\frac{1}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

d) E(x²)-(E(x))² = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{ln(3)} - \frac{1}{(ln(3))²} \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 13:31

Math1986

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RE: Erwartungswert/Varianz/Dichtefunktion

Zitat:

Original von sunshine1408
Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \int_1^3 \! \frac a x \, dx =1<br /> <br /> a=\frac{1}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig

Zitat:

Original von sunshine1408
b) f(a)= a+ln(3) oder muss ich hier mit anderen Grenzen integrieren? Die Dichtefunktion ist doch die Ableitung von der Verteilungsfunktion soweit ich weiß.

So ganz verstehe ich die Frage nicht.

Die Duchtefunktion ist ja gegeben, die Verteilungsfunktion ist gesucht.

Diese ist nunmal definiert als
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt \end{eqnarray*}$
Da musst du nun eine Fallunterscheidung nach den gegebenen Grenzen machen.

Zitat:

Original von sunshine1408
c) $\begin{eqnarray*} \int_1^3 \! a/x*x \, dx =a=\frac{1}{ln(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_1^3 \! a/x*x \, dx \end{eqnarray*}$ ist schonmal richtig, danach wirds falsch..

Zitat:

Original von sunshine1408
d) $\begin{eqnarray*} E(X^2)-(E(X))^2 = \frac{2}{ln(3)} - \frac{1}{(ln(3))^2} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite ist da der selbe Fehler wie oben.
Links scheint auch ein Rechenfehler zu sein.

16.10.2012, 13:49

HAL 9000

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@sunshine1408

Kleiner Einwurf zur Ergebniskontrolle $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ :

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße muss bei beschränkten Zufallsgrößen immer zwischen Minimum und Maximum der möglichen Werte liegen, im vorliegenden Fall also $\begin{eqnarray*} 1\leq E(X)\leq 3 \end{eqnarray*}$ . Das trifft auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln(3)} \approx 0.91 \end{eqnarray*}$ nicht zu, weswegen man dieses Ergebnis schon aus diesen Plausibilitätsgründen als falsch erkennt.

16.10.2012, 13:53

sunshine1408

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Das beantwortet schon die Frage zu b) was nehm ich denn als mein x? 1 oder 3 oder weil ich außerhalb der Intervalle bin 0?

Stimmt hab ich gar nicht mehr drauf geachtet das der Erwartungswert im Intervall liegt.

Habe gerade meinenRechenfehler entdeckt, was für ein dummer Fehler

16.10.2012, 14:12

sunshine1408

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Ok also ich habe jetzt für den Erwartungswert 2/ln(3) und für die Varianz 4/ln(3)-4*(1/ln(3))²

Stimmt das so?

16.10.2012, 14:21

HAL 9000

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Will mich eigentlich nicht reindrängen, aber solange Math1986 nicht da ist, kann ich zumindest kurze Bestätigungen geben:

Ja, Erwartungswert und Varianz sind nun richtig.

16.10.2012, 14:55

Math1986

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Zitat:

Original von sunshine1408
Das beantwortet schon die Frage zu b) was nehm ich denn als mein x? 1 oder 3 oder weil ich außerhalb der Intervalle bin 0?

Die Frage verstehe ich nicht, du musst eben die Funktion durch eine Fallunterscheidung definieren. Die ursprüngliche Dichtefunktion besteht doch auch aus einer Fallunterscheidung, insofern ist der gedanke doch naheliegend.

16.10.2012, 17:57

sunshine1408

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Du meinst das es außerhalb des Intervalls 1,3 0 ist?
Wie viele Fallunterscheidungen für x =0 x=1 und x=3?

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Erwartungswert/Varianz/Dichtefunktion

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