keine Äquivalenz von Normen

16.10.2012, 12:53

Gast11022013

keine Äquivalenz von Normen

Meine Frage:
Bei endlichdimensionalen Vektorräumen sind Normen äquivalent.
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass dies nicht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen gilt.

Meine Ideen:
Ich habe mir da Folgendes überlegt.

Betrachte den unendlichdimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} C[0,1] \end{eqnarray*}$ und hierauf einmal die Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$ und einmal die L1-Norm.

Betrachte die Vektoren $\begin{eqnarray*} f_n\colon [0,1]\ni x\mapsto nx^n, n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man sich jetzt mal ein so ein $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ hernimmt und die Normen ausrechnet, hat man

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1}=\int\limits_{0}^{1}\lvert nx^n\rvert\, dx=n\int\limits_{0}^{1}x^n\, dx=n\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\lvert nx^n\rvert=\lvert n\rvert=n \end{eqnarray*}$

Daher gilt $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1}\leq\lVert f_n\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$ , aber eben nicht $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{\infty}\leq\lVert f_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so machen? Ist das ein geeignetes Gegenbeispiel?

Viele Grüße,
Dennis

16.10.2012, 17:37

Che Netzer

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Hallo,

die Idee ist die richtige, nur zwei Bemerkungen:
Erstens würde ich gleich $\begin{eqnarray*} f_n(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ nehmen; integriert sich leichter.
Zweitens ist die Begründung etwas lückenhaft. Du sollst eher zeigen, dass es kein $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ geben kann, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_\infty\leq c\lVert f_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$ .
Du hast nur gezeigt, dass die Konstanten nicht beide Eins sein können, d.h. dass die Normen nicht gleich sind (wofür man sich ja die Unendlichdimensionalität hätte sparen können).
Etwas konstruiertere Funktionen wären linear auf $\begin{eqnarray*} [0,\tfrac1n] \end{eqnarray*}$ mit Höhe $\begin{eqnarray*} f_n(0)=2n \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} f_n(\tfrac1n)=0 \end{eqnarray*}$ (und Null auf $\begin{eqnarray*} [\tfrac1n,1] \end{eqnarray*}$ ).

Das ist auch ein recht übliches Gegenbeispiel; solche Funktionen mit $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ solltest du generell oft betrachten.
Ein anderes Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ - und der $\begin{eqnarray*} \ell_\infty \end{eqnarray*}$ -Norm (entsprechende Elemente kannst du selbst suchen).

mfg,
Ché Netzer

16.10.2012, 18:02

Gast11022013

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1}\leq c\lVert f_n\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$ kann man zeigen, nämlich gilt dies nach meinem ersten Beitrag für $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich noch zeigen, daß es keine Konstante $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{\infty}\leq d\lVert f_n\rVert_{L_1}=\lVert df_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$ ?

16.10.2012, 18:16

Che Netzer

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Ja, genau.

16.10.2012, 18:33

Gast11022013

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RE: keine Äquivalenz von Normen
So ganz genau weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann.

Wenn es so eine Konstante $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ gäbe, die diese Abschätzung für alle Vektoren erfüllt, so würde ja gelten

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{\infty}=n\leq\frac{dn}{n+1}=\lVert df_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n(n+1)\leq dn \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n+1\leq d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n\leq d-1 \end{eqnarray*}$

Kann man dann sagen, dass es ja dann Vektoren $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gibt, für die sicherlich nicht gilt, dass $\begin{eqnarray*} n\leq d-1 \end{eqnarray*}$ ? Das heißt die Abschätzung gilt nicht für alle Vektoren, was einen Widerspruch zu der Behauptung gibt.

(Ist z.B. $\begin{eqnarray*} d=5 \end{eqnarray*}$ gibt es ja natürliche Zahlen, die größer 5 sind.)

16.10.2012, 19:06

Che Netzer

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Wie verhält sich denn $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ für wachsendes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
Und was kann man über $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$ aussagen?
Wie gesagt, ich empfehle sowieso $\begin{eqnarray*} f_n(x)=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

16.10.2012, 19:13

Gast11022013

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RE: keine Äquivalenz von Normen

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie verhält sich denn $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ für wachsendes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
Und was kann man über $\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1} \end{eqnarray*}$ aussagen?

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{\infty}\to\infty, n\to\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lVert f_n\rVert_{L_1}\to 1, n\to\infty \end{eqnarray*}$

Okay, damit kann die Ungleichung nicht gelten, wenn man nur n groß genug wählt, denn auf der linken Ungleichungsseite strebt der Ausdruck gegen unendlich, während der rechts stehende Ausdruck jedenfalls endlichen bleibt.

So?

16.10.2012, 19:16

Che Netzer

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Stimmt so.

16.10.2012, 19:34

Gast11022013

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RE: keine Äquivalenz von Normen
Vielen lieben Dank!

Wink

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keine Äquivalenz von Normen

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