Minorantenkriterium anwenden

16.10.2012, 13:39

Agent 47

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Minorantenkriterium anwenden

Hallo,
neue Woche, neues Problem.
Und zwar soll ich für folgende Reihe mittels Minorantenkriterium beweisen, dass sie divergent ist. Wenn ich das Majorantenkriterium anwende, dann gebe ich ja eine Abschätzung ab, so dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ ist unter der Voraussetzung das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist und wenn ich zeigen kann, das $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent ist, habe ich die Aussage bewiesen.
Mein Problem ist, dass ich bei dem Beispiel es nicht schaffe zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent ist. Denn beim Minorantenkriterium muss ich ja unter der Voraussetzung das $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent ist zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ .
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^{2}+n}}{\sqrt{n^{2}+1}*(n+1)} <br /> \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 13:44

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Was hast du denn überhaupt als vermeintliche divergente Minorante gewählt?

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^2+n}}{\sqrt{n^2+1}} \geq 1 \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 14:02

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Ich habe da etwas nicht so ganz verstanden fürchte ich. Ist meine Angabe nicht das $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ wenn ich beim Minorantenkriterium annehmen muss, dass es bestimmt divergent ist? Das würde ja dann heißen ich suche das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ welches größer sein muss oder?

16.10.2012, 14:17

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Beim Minorantenkriterium ist Sinn und Zweck, eine "kleinere" (!) Folge zu finden, bei der die Reihe divergiert.

Andersrum würde es doch überhaupt keinen Sinn machen. Was bringt es, eine "größere" Folge zu suchen, bei der die Reihe divergiert? Das sagt ja nichts über deine eigentliche Folge aus. Wenn du aber eine "kleinere" Folge finden kannst, bei der die Reihe divergiert, dann divergiert natürlich auch die Reihe der "größeren" (also deiner ursprünglichen) Folge, die du eigentlich untersuchen willst.

16.10.2012, 14:27

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Ja so hatte ich mir das eigentlich eh gedacht. Mich hatte nur verwirrt, weil wir gesagt haben, dass bn bestimmt divergent ist, ist die Voraussetzung.
Aber wenn ich jetzt sage $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$
wie kann ich dann zeigen, dass das divergiert?

16.10.2012, 14:30

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

divergiert, ist klar, das ist die harmonische Reihe. Fällt unter die Gattung "bekannte Reihe". Den Beweis müsstest du kennen, er ist sonst auch z.B. auf Wikipedia einsehbar.

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16.10.2012, 14:38

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Ja richtig, ich vergesse anscheinend immer wieder, dass wir hier ja nur noch mit Reihen und keinen Folgen zu tun haben. Wie kann ich bei einer Reihe die nicht so eindeutig ist eigentlich zeigen, ob sie konvergiert oder nicht? Die Folge 1/n ist ja konvergent, weil der Grenzwert gegen 0 geht, die Reihe ist divergent, weil die Summe der Folgenglieder gegen unendlich geht. Oder bin ich jetzt schon komplett verwirrt? Und wieso ist dann eigentlich die Reihe 1/(n^2) konvergent?

16.10.2012, 14:44

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden

Zitat:

Original von Agent 47
Wie kann ich bei einer Reihe die nicht so eindeutig ist eigentlich zeigen, ob sie konvergiert oder nicht?

Es gibt zahlreiche verschiedene Konvergenzkriterien, ein eindeutiges Kochrezept kann man da nicht nennen.

Zitat:

Original von Agent 47
Die Folge 1/n ist ja konvergent, weil der Grenzwert gegen 0 geht, die Reihe ist divergent, weil die Summe der Folgenglieder gegen unendlich geht.

Ja, so ist es.

Zitat:

Original von Agent 47
Und wieso ist dann eigentlich die Reihe 1/(n^2) konvergent?

Salopp formuliert: Weil 1/n² schneller "klein" wird, als 1/n. Allgemein konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^a} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ . Beweisen kann man das z.B. mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterium.

16.10.2012, 14:59

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Vielen Dank für die Antworten! Jetzt ist alles doch einiges klarer geworden.
Eine Frage hätte ich aber noch. Ob eine Reihe konvergiert oder nicht, kann man also nur über die Kriterien zeigen. Jetzt kommt das Beispiel:
Beweise mit Majorantenkriterium, dass folgende Reihe konvergent ist

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n^{3}-n}{n^{5}+1}\leq \frac{2n^{3}-n}{n^{5}} <br /> \end{eqnarray*}$
Wenn ich das abschätzen kann, kann man dann einfach sagen, dass die Reihe konvergiert, oder muss man das noch irgendwie weiter auflösen?

16.10.2012, 15:05

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden

Zitat:

Original von Agent 47
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n^{3}-n}{n^{5}+1}\leq \frac{2n^{3}-n}{n^{5}} <br /> \end{eqnarray*}$

So ist es ja unsinnig, links steht eine Reihe, rechts eine Folge. Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}-n}{n^{5}+1}\leq \frac{2n^{3}-n}{n^{5}} \end{eqnarray*}$

Ansonsten würde ich den Bruch noch aufteilen, um wieder auf die allgemeine harmonische Reihe verweisen zu können:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}-n}{n^{5}} = \frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$

Und sowohl $\begin{eqnarray*} 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \end{eqnarray*}$ sind konvergent und damit auch die Summe (bzw. Differenz) dieser beiden Reihen.

16.10.2012, 15:15

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Ja sicher, ich war nur zu faul das Summenzeichen nochmals hinzuschreiben. Sorry.
Aber danke für die rasche Hilfe!
Und wenn man nicht eine solch eindeuitg konvergente Reihe rauslesen kann, dann reicht es das Ergebnis so stehen zu lassen oder? Also z.B. wenn im Nenner 2^n stehen würde.

16.10.2012, 15:17

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Ähm, solange du noch nicht weißt, ob die Reihen konvergieren oder nicht, wäre ich mit dem Summenzeichen beim Abschätzen sehr vorsichtig. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} > \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

ist ja offensichtlich. Schreibt man nun aber sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} > \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

dann würde ich das anstreichen. Denn beide Reihen divergieren und faktisch hat man dann geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \infty > \infty \end{eqnarray*}$

Was irgendwie keinen Sinn macht, oder? Also Vorsicht!

Edit: Deine letzte Frage verstehe ich jetzt nicht richtig. Wenn im Nenner ein 2^n stehen würde, könnte man auch wohl irgendwie passend abschätzen, so dass man bei der geometrischen Reihe z.B. landet.

16.10.2012, 15:34

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Hmm ich verstehe zwar was du meinst, doch wenn ich jetzt die Folgen abschätze und zu einem richtigen Ergebnis komme, muss ich das Ergebnis ja erst wieder mit dem Summenzeichen als Reihe anschreiben oder? (schließlich ist das ja gesucht)
Und wenn ich komplexere Ergebnise habe, wo es nicht so eindeutig ist, ob die Ungleichung sowohl für die Folge als auch für die Reihe zutrifft, lässt sich der Fehler dadurch ja trotzdem nicht vermeiden oder?

Und ich verstehe jetzt dafür nicht, was du damit meinst, dass man bei der geometrischen Reihe landet. Wenn ich abschätze, dass Zähler/2^n<=Zähler/2^(n-1) ist, wie kann man da noch weiterrechnen um auf ein eindeutiges Ergebnis zu kommen?

16.10.2012, 15:48

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden

Zitat:

Original von Agent 47
Hmm ich verstehe zwar was du meinst, doch wenn ich jetzt die Folgen abschätze und zu einem richtigen Ergebnis komme, muss ich das Ergebnis ja erst wieder mit dem Summenzeichen als Reihe anschreiben oder? (schließlich ist das ja gesucht)
Und wenn ich komplexere Ergebnise habe, wo es nicht so eindeutig ist, ob die Ungleichung sowohl für die Folge als auch für die Reihe zutrifft, lässt sich der Fehler dadurch ja trotzdem nicht vermeiden oder?

Lies dir die Definition von Majoranten- oder Minorantenkriterium nochmal durch. Beim Minorantenkriterium beispielsweise geht es, wenn man eine Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

untersucht, gar nicht so sehr darum, unbedingt eine konvergente Majorante

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$

zu finden, so dass auch wirklich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n > \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

gilt. Das ist gar nicht nötig und wird auch nicht in der Definition gefordert. Es muss nur (falls alle Folgenglieder positiv sind)

$\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$

für "fast alle" n (also für alle n bis auf endlich viele Ausnahmen) gelten.

So kann es durchaus passieren, dass

$\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$

für "fast alle" n gilt, aber trotzdem

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n > \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$

gilt, weil die endlich vielen Ausnahmen hier das Ruder rumreißen. Es geht ja nur darum, zu entscheiden, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Und endlich viele Folgenglieder haben auf Konvergenz keinen Einfluss. Es macht nichts, wenn bei deiner Majorante die ersten 1000 Folgenglieder kleiner sind: Hauptsache, die restlichen unendlich vielen Folgenglieder sind größer. Das reicht dann. Denn es würde auf jeden Fall irgendeinen Startindex m geben, so dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^{\infty} a_n < \sum_{n=m}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$

ist, denn irgendwann wird die Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ja größer sein als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist zwar vielleicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{m-1} a_n > \sum_{n=1}^{m-1} b_n \end{eqnarray*}$

aber wen juckt's? Hauptsache, insgesamt kleiner als unendlich! Und da interessiert sich niemand für diese endlich vielen Summanden von 1 bis m-1. Die sind vernachlässigbar.

Zitat:

Original von Agent 47
Wenn ich abschätze, dass Zähler/2^n<=Zähler/2^(n-1) ist, wie kann man da noch weiterrechnen um auf ein eindeutiges Ergebnis zu kommen?

Verstehe ich nicht. Was soll diese Abschätzung da jetzt? Wenn du es diesbezüglich genauer wissen willst, musst du auch genauer nachfragen.

16.10.2012, 16:02

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Beim voherigen Beispiel hast du ja gesagt man kann den Nenner nochmals aufteilen um auf die allgemeine harmonische Reihe verweisen zu können. Meine Frage war jetzt, was man noch machen muss oder kann, wenn man eben nicht so schön auf eine solch eindeutig konvergente Reihe verweisen kann.
z.B.:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\sin(3n-1)}{2^{n}} \leq \frac{\sin(3n-1)}{2^{n-1} } <br /> \end{eqnarray*}$
Wäre jetzt meine Abschätzung gewesen.

16.10.2012, 16:06

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden

Zitat:

Original von Agent 47
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\sin(3n-1)}{2^{n}} \leq \frac{\sin(3n-1)}{2^{n-1} } <br /> \end{eqnarray*}$
Wäre jetzt meine Abschätzung gewesen.

Und was soll diese Abschätzung jetzt bringen? Inwiefern hilft sie dir?

Edit: Im übrigen ist diese Ungleichung gar nicht immer gültig. Was ist denn, wenn der Zähler negativ wird?

16.10.2012, 16:13

Agent 47

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RE: Minorantenkriterium anwenden
Das war ja meine Frage. Ich weiß nicht wie man damit zeigen kann, dass die Reihe konvergent ist. Übrigens war die Angabe sin(3n)-1. Ich könnte auch sagen, dass sin(3n)-1 sicher <1 ist aber wie mir das weiterhelfen könnte weiß ich auch nicht.

16.10.2012, 16:19

Mulder

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RE: Minorantenkriterium anwenden

Zitat:

Original von Agent 47
Ich könnte auch sagen, dass sin(3n)-1 sicher <1 ist aber wie mir das weiterhelfen könnte weiß ich auch nicht.

Du brauchst ja auch eine Abschätzung nach unten. Wenn man sicherstellen will, dass eine Reihe konvergiert, muss man einerseits zeigen, dass sie nicht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, andererseits aber auch, dass sie nicht gegen $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ geht. Darum Beträge hinzunehmen. Zumindest dann, wenn man eine von diesen alternierenden Folgen hat, bei denen manche Folgenglieder positiv und manche negativ sind.

Wie wär's denn mit

$\begin{eqnarray*} | \sin(3n)-1| \leq 2 \end{eqnarray*}$

? Dann ist man schon fertig. Dann hat man eine konvergente Majorante $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2}{2^n} \end{eqnarray*}$ . (Vergleich geometrische Reihe).

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