Vollständige Induktion - Induktionsschluss = Problem

16.10.2012, 16:06

sahandooo

Vollständige Induktion - Induktionsschluss = Problem

Meine Frage:
Hi Leute,

das Erstsemester hat vor ner Woche begonnen und das Erste was jetzt in Analysis vorkam, war die vollständige Induktion ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Ich hab mich mal da ran versucht, aber im letzten Schritt bleibe ich immer hängen oder mach etwas falsch. Vielleicht kann mir ja jemand hier helfen.

Meine Ideen:
Anders als wie ich es im Internet gefunden habe, geht unser Professor lediglich folgende Schritte: Induktionsverankerung - Induktionsannahme - Induktionsschluss ... Hab im Internet auch Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschritt gefunden, sind möglicherweise nur Synonyme für eines der drei oben genannten Parts - eine Aufklärung hinsichtlich dessen wäre auch nett smile

Nun, aber an's eingemachte, also soweit bin ich gekommen:

Induktionsverankerung:

linke Seite: $\begin{eqnarray*} 1^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}1 (1+1)(2*1+1) = 1 \end{eqnarray*}$

Das sollte also soweit stimmen ...

Induktionsannahme:

(klingt für mich etwas seltsam, aber laut unserem Professor muss hier nur eine Behauptung aufgestellt werden und keine Rechnungen )

meine lautet ...
Es gilt die Behauptung, dass jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ wahr ist, d.h $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

hier habe ich diversen Internetvideos entnommen, dass für n -> n+1 eingesetzt wird ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 k^{2} = \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

linke Seite: $\begin{eqnarray*} k^{2}+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ Zweiteres ist für k -> n+1 eingesetzt, soll ja dann letzter Summant sein.

Danach soll, so wie ich es verstanden habe, die rechte Seite aus der Induktionsverankerung für das k eingesetzt werden, würde dann heißen ...

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1)+ (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

So, in den ganzen Videos, gleicht die linke der rechten Seite, womit die Aufgabe dann ja auch gelöst wäre, soweit ich weiß. Bei mir jedoch nicht wirklich und weiter komme ich auch nicht, stehe anscheinend auf nem Schlauch. Wäre nett, wenn mir jemand den restlichen Weg erklären könnte, damit ich ein endlich ein Schema habe, um die vollständige Induktion in meinem Kopf zu kriegen. Danke schonmal!!!

16.10.2012, 17:22

Math1986

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RE: Vollständige Induktion - Induktionsschluss = Problem

Zitat:

Original von sahandooo
Meine Ideen:
Anders als wie ich es im Internet gefunden habe, geht unser Professor lediglich folgende Schritte: Induktionsverankerung - Induktionsannahme - Induktionsschluss ... Hab im Internet auch Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschritt gefunden, sind möglicherweise nur Synonyme für eines der drei oben genannten Parts - eine Aufklärung hinsichtlich dessen wäre auch nett smile

ja, das ist das selbe, in dieser Reihenfolge.

Zitat:

Original von sahandooo
Induktionsannahme:

(klingt für mich etwas seltsam, aber laut unserem Professor muss hier nur eine Behauptung aufgestellt werden und keine Rechnungen )

meine lautet ...
Es gilt die Behauptung, dass jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ wahr ist, d.h $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von sahandooo
Induktionsschluss:

hier habe ich diversen Internetvideos entnommen, dass für n -> n+1 eingesetzt wird ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 k^{2} = \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von sahandooo
linke Seite: $\begin{eqnarray*} k^{2}+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ Zweiteres ist für k -> n+1 eingesetzt, soll ja dann letzter Summant sein.

Ja, du hast den letzten Summanden abgespalten und auf den Rest die Induktionsannahme angewendet.

Zitat:

Original von sahandooo
Danach soll, so wie ich es verstanden habe, die rechte Seite aus der Induktionsverankerung für das k eingesetzt werden, würde dann heißen ...

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1)+ (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

Ja, nun musst du also noch die Gleichheit der obigen Terme zeigen und bist fertig:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1)+ (n+1)^{2}=\frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+2) \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 22:56

sahandooo

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Ja, aber egal wie ich die beiden Terme forme, komme ich nicht zur Gleichheit auf beiden Seiten. Hab ich zuvor etwas falsch gemacht ??? Oder stell ich mich zu blöd beim umformen an?

17.10.2012, 00:36

riwe

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6) \end{eqnarray*}$

und den letzten faktor kann man noch geeignet zerlegen Augenzwinkern

17.10.2012, 00:52

Dopap

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es sind nicht immer Summen, manchmal auch Ungleichungen etc. Wichtig ist immer:
Die Hypothese oder Induktionsannahme muss irgendwo explizit verwendet werden.

Und wenn du z.B. mit der Summe als Produkt ...(n+1)(2n+1) ... nicht klar kommst, steht dir immer noch der Weg der Darstellung als Polynom offen. Und da ist Gleichheit oder nicht Gleichheit sofort offensichtlich.
So auch bei der letzten Gleichung von Riwe. Gewiss nicht elegant, aber sicher...

17.10.2012, 01:02

riwe

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Zitat:

Original von Dopap
es sind nicht immer Summen, manchmal auch Ungleichungen etc. Wichtig ist immer:
Die Hypothese oder Induktionsannahme muss irgendwo explizit verwendet werden.

Und wenn du z.B. mit der Summe als Produkt ...(n+1)(2n+1) ... nicht klar kommst, steht dir immer noch der Weg der Darstellung als Polynom offen. Und da ist Gleichheit oder nicht Gleichheit sofort offensichtlich.
So auch bei der letzten Gleichung von Riwe. Gewiss nicht elegant, aber sicher...

zeigst du mir den eleganten weg verwirrt

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