Mengen Rechnung

16.10.2012, 16:30

IchNixMathe

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Mengen Rechnung

Meine Frage:
Sei I die Menge aller Primzahlen und $\begin{eqnarray*} A_{p} =\left\{ x\in \mathbb N | x ist ein vielfaches von p\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p\in I \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{p\in I}A_{p} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So, hier muss ich den Durchschnitt aller Elemente die in jeder Menge Ap liegen brechnen.
Ich weiss das I = 2, 3, 5, 7, ...
und $\begin{eqnarray*} A_{2} \end{eqnarray*}$ = 4, 6, 8, ...
$\begin{eqnarray*} A_{3} \end{eqnarray*}$ = 6, 9, 12, ...

Damit hätte cih zB schon nur mehr die elemente 6, 12, ... in jeder Menge, nur wie kann ich aus dem den Durchscnitt ziehen? Kann man hier jemand bitte mit dem Ansatz helfen?

16.10.2012, 16:58

Mystic

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RE: Mengen Rechnung

Zitat:

Original von IchNixMathe
Ich weiss das I = 2, 3, 5, 7, ...
und $\begin{eqnarray*} A_{2} \end{eqnarray*}$ = 4, 6, 8, ...
$\begin{eqnarray*} A_{3} \end{eqnarray*}$ = 6, 9, 12, ...

Es ist $\begin{eqnarray*} A_{p} = \{p,2p,3p,4p,\ldots\} \end{eqnarray*}$ , d.h., auch p selbst ist in $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ enthalten...

Geh bei deiner Aufgabe schrittweise vor, indem du fragst: Was ist das jeweils kleinste Element in

a) $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} A_2 \cap A_3 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} A_2 \cap A_3 \cap A_5 \end{eqnarray*}$
d) usw.

Was bemerkst du da in Hinblick auf die Gestalt und die Größe dieses Elements?

16.10.2012, 17:12

IchNixMathe

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d.h. die menge besteht aus allen Primzahlen, ist unendlich aaberbzählbar?
Dann kann man den Durchsnitt gar nicht berechnen?

16.10.2012, 17:16

Mystic

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Hm, versteh nicht was du meinst... Kannst du nicht einfach mal meine Frage oben beantworten, statt diese zu ignorieren und mit weiteren Fragen zu antworten? unglücklich

unglücklich

Was ist also das kleinste Element in a), b) bzw. c) und welche Gesetzmäßigkeit siehst du da?

16.10.2012, 17:42

IchNixMathe

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kleinste element:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
...
und gestzmäßigkeit ist doch das es alle primzahlen sind

und wenn es alle primzahlen sind ist die menge unendlich groß, oder?

16.10.2012, 17:58

Mystic

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Das ist doch Unsinn! geschockt

geschockt

Nehmen wir nur mal b) her: In $\begin{eqnarray*} A_2 \cap A_3 \end{eqnarray*}$ liegen alle positiven *) ganzen Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind... Deine Antwort 3 ist daher sicher nicht richtig, da 3 ja nicht gerade ist...

*) Ist übrigens 0 auch ein Vielfaches von p? Wenn ja, müsste man sie zu den $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ überall noch dazu nehmen und meine obige Frage würde sich dann auf die kleinste positive Zahl in den jeweiligen Durchschnitten beziehen...

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16.10.2012, 18:08

IchNixMathe

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gehirnfurz...hatte vereinigt statt geschnitten im kopf...
dann ist die lösung eine leere menge weil ja nie jedes elemnt durch 2, 3, 5, 7, ... , unendlich teilbar ist?

16.10.2012, 18:21

Mystic

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Ja, das Minimum in $\begin{eqnarray*} \bigcap_{p<=s} A_p \end{eqnarray*}$ ist eben gerade $\begin{eqnarray*} \prod_{p<=s} p \end{eqnarray*}$ und wird somit mit wachsendem s beliebig groß... Damit kann die Annahme, dass der betrachtete Durchschnitt aller $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ nichtleer ist, leicht auf einen Widerspruch geführt werden... Wink

Wink

16.10.2012, 19:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mystic
*) Ist übrigens 0 auch ein Vielfaches von p? Wenn ja, müsste man sie zu den $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ überall noch dazu nehmen und meine obige Frage würde sich dann auf die kleinste positive Zahl in den jeweiligen Durchschnitten beziehen...

Bezugnehmend darauf eine Frage an IchNixMathe:

Gehört bei euch (also in dieser Vorlesung oder sonstwelchen Kontext) die Null zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ oder nicht? Könnte bei dieser Problemstellung hier wichtig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2012, 10:15

IchNixMathe

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bei uns gilt 0 ist keine natürliche Zahl

17.10.2012, 11:49

Mystic

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Ja, aber das klärt noch nicht restlos die Frage, was ein "Vielfaches von p" ist... Sind das nur die Zahlen p,2p,3p,.., wie oben angenommen, dann wäre der Durchschnitt leer, sind alle Vielfachen der Form kp mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint, so würde der Durchschnitt genau aus der 0 bestehen...

17.10.2012, 11:54

HAL 9000

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zur Erinnerung

Zitat:

Original von IchNixMathe
Sei I die Menge aller Primzahlen und $\begin{eqnarray*} A_{p} =\left\{ {\color{red}x\in \mathbb N} | x ist ein vielfaches von p\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p\in I \end{eqnarray*}$

17.10.2012, 13:04

Mystic

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RE: zur Erinnerung
Ja sorry, hatte ich wieder mal überlesen... unglücklich

unglücklich

18.10.2012, 18:30

IchNixMathe

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Sei I die Menge aller Primzahlen und $\begin{eqnarray*} A_{p} =\left\{ x\in \mathbb N | x ist ein vielfaches von p\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p\in I \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} \bigcap_{p\in I}A_{p} \end{eqnarray*}$ = 0 (also leere Menge) - Hier gibt es keine Zahl die in allen $\begin{eqnarray*} A_{p} \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

b) $\begin{eqnarray*} \bigcup_{p\in I}A_{p} \end{eqnarray*}$ = alle $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ >1 - Hier sind alle $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ > 2 enthalten weil entweder ist die Zahl ein vielfaches von einer anderen Zahl oder sie ist eine Primzahl, wodurch sie wegen $\begin{eqnarray*} A_{p} \end{eqnarray*}$ = p vorkommt.

Wenn das jetzt richtig ist habe ich verstanden wieso es richtig ist, aber ich habe keine Ahnung wie ich das in einer suaberen mathematischen Formel ausdrücken soll. Kann mir das bitte jemand zeigen?

18.10.2012, 18:32

IchNixMathe

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"...Hier sind alle $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ > 2..."
tippfehler, muss natürlich >1 sein.

18.10.2012, 19:25

Mystic

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Dazu muss gezeigt werden, dass jede natürliche Zahl n>1 einen Primteiler p besitzt... Betrachte dazu die Menge $\begin{eqnarray*} T:=\{t \in \mathbb N_{>1} | t \text{ ist Teiler von } n \} \end{eqnarray*}$ und zeige:

1) $\begin{eqnarray*} T \ne \emptyset \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} p:=\min T \end{eqnarray*}$ ist ein Primteiler von n.

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