Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals

16.10.2012, 18:55

XHotSniperX

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Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals

Meine Frage:
Halloooooo

Ich möchte folgende Eigenschaft des komplexen Wegintegrals zeigen:

$\begin{eqnarray*} | \int_\gamma \! f(z) \, dz | \leq M\cdot L(\gamma ) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} | f(\gamma (t)) | \leq M \hspace*{0.3cm} \forall \hspace*{0.3cm}t\in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ und M reelle Zahl.

Meine Ideen:
Ich möchte diese Ungleichung ein wenig umschreiben und dann mit dem Riemann Integral zeigen, dass sie stimmt durch Abschätzen der einzelnen Summanden. Ich weiss aber nicht so recht, wie ich das am besten machen soll. Vor allem die Beträge hindern mich daran, weil ich nicht genau weiss, wie man mit ihnen umgehen muss hier.

Kann man z.B. aus der Ungleichung, durch umformen und $\begin{eqnarray*} M=| f(\gamma (t)) | \end{eqnarray*}$ einsetzen, so etwas rausholen:

$\begin{eqnarray*} | \int_\gamma \! f(z) \, dz | \leq \int_\gamma \! |f(z)| \, dz \end{eqnarray*}$

Edit:
hab gerade gemerkt, dass das eher blöd wäre smile

smile

16.10.2012, 21:20

Che Netzer

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RE: Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals
Hallo,

du siehst ja, dass $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in der Voraussetzung auftritt. Wende also als erstes die Definition des Wegintegrals an.
Wenn ihr die Dreiecksungleichung verwenden könnt, ist das sogar eine sehr gute Idee. (wenn du später wieder mit Integralen zu tun hast, z.B. in Differentialgleichungen: Diese Dreiecksungleichung ist absolute Standardabschätzung, probier es fast immer mal damit)
Ich glaube aber nicht, dass ihr Riemannsche Summen aufschreiben sollt.

mfg,
Ché Netzer

16.10.2012, 21:31

Leopold

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RE: Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals

Zitat:

Original von XHotSniperX
$\begin{eqnarray*} | \int_\gamma \! f(z) \, dz | \leq \int_\gamma \! |f(z)| \, dz \end{eqnarray*}$

Das ist sogar falsch. Beachte, daß die rechte Seite eventuell nicht reell ist.

17.10.2012, 18:11

XHotSniperX

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RE: Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals

Zitat:

Original von Che Netzer
du siehst ja, dass $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in der Voraussetzung auftritt. Wende also als erstes die Definition des Wegintegrals an.

Versteh nicht, was du meinst. In M?

Also ich hab links die Definition des Wegintegrals angewendet. Dann hab ich das:

$\begin{eqnarray*} |\int_a^b \! f(\gamma (t))\cdot \gamma' (t) \, dt |\leq M\cdot \int_a^b \! |\gamma' (t)| \, dt \end{eqnarray*}$

Was kann ich hier nun machen? Ich kann natürlich alles verwenden. Muss nicht Riemann sein aber das war der Tipp...

17.10.2012, 19:02

Che Netzer

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RE: Eine Eigenschaft des komplexen Wegintegrals
Wenn diese Umformung problemlos lief, war das doch schon fast alles. Wie ist denn die Weglänge definiert?

17.10.2012, 19:41

XHotSniperX

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Die Weglänge steht doch rechts?

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17.10.2012, 19:53

Che Netzer

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Ja, und damit hast du genau die Abschätzung, die du zeigen solltest.

17.10.2012, 20:03

XHotSniperX

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Versteh absolut nichts smile

smile

Was für eine Abschätzung meinst du? Ich hab nichts gemacht und bin schon fertig? Kann nicht sein.. hehe

17.10.2012, 20:11

Che Netzer

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Du sollst doch
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\int_\gamma f(z)\dd z\right\rvert\leq ML(\gamma) \end{eqnarray*}$
zeigen, oder?
Du hast jetzt die Definition eingesetzt, die Dreiecksungleichung angewandt und wieder eine Definition eingesetzt. Und was hast du erhalten?

Ja, manche Beweise zu komplexen Wegintegralen sind ziemlich schnell erledigt, das scheinen alle ersten Übungsaufgaben dazu gemein zu haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2012, 20:47

XHotSniperX

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Eine Dreiecksungleichung hab ich nicht angewandt. Nur links Definition des Wegintegrals und rechts Definition der Weglänge. Dann hab ich das oben bekommen.

Aber ich hab damit noch nicht gezeigt, dass die linke Seite kleinergleich die rechte ist. Zumindest mir nicht haha

Die Dreiecksungleichung für Integrale sagt was über die Beträge oder? Was bringt mir das hier. Ist nicht das gleiche

17.10.2012, 21:38

Che Netzer

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Wie bist du denn hierauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} |\int_a^b \! f(\gamma (t))\cdot \gamma' (t) \, dt |\leq M\cdot \int_a^b \! |\gamma' (t)| \, dt \end{eqnarray*}$
Da scheinst du ja links die Definition eingesetzt zu haben. Und wie hast du den Betrag ins Integral bekommen?

17.10.2012, 23:01

XHotSniperX

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Ja links hab ich nur die Definition des Wegintegrals anwandt und rechts nichts anderes, als die Definition der Weglänge (siehe Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten auf Wikipedia z.B.).

Mehr hab ich nicht gemacht

17.10.2012, 23:59

Che Netzer

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Riemannsche Mannigfaltigkeiten? Bleiben wir mal lieber nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Dann hast du diese Ungleichung also nur erhalten, indem du beide Seiten der zu zeigenden Ungleichung umgeschrieben hast?

Und du bist eigentlich erst bis
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\int_\gamma f(z)\dd z\right\rvert=\left\lvert\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\dd t\right\rvert \end{eqnarray*}$
gekommen?
Dann wende jetzt mal die Dreiecksungleichung an.

18.10.2012, 16:17

XHotSniperX

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Ganz genau. Mehr hab ich nicht gemacht. Wenn ich jetzt die Dreiecksungleichung anschaue, dann kann ich links die Beträge nach innen nehmen mit einem ungleichzeichen oder?

18.10.2012, 17:25

Che Netzer

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Ja, genau.
Du hast dann
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\int_\gamma f(z)\dd z\right\rvert=\left\lvert\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\dd t\right\rvert\leq\dotso \end{eqnarray*}$

18.10.2012, 17:54

XHotSniperX

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Kann ich jezt also einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} \left\lvert\int_\gamma f(z)\dd z\right\rvert=\left\lvert\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\dd t\right\rvert\leq\ \int_a^b\left\lvert f(\gamma(t))\gamma'(t)\right\rvert\dd t \end{eqnarray*}$

und das ist nochmals kleiner als die rechte Seite? Also wie kann ich am besten das Integral mit den Beträgen innen mit der rechten Seite vergleichen?

18.10.2012, 17:56

Che Netzer

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Jetzt kannst du die Beträge auseinander ziehen und die Monotonie des Integrals verwenden.

18.10.2012, 18:04

XHotSniperX

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Darf man Beträge einfach auseinander ziehen? Mit Monotonie des Integrals meinst du, dass wenn im Integral der Wert grösser oder gleich 0 ist, dann ist das Integral auch grösser oder gleich 0?

Edit: Oder besser gesagt. Das Integral von einem grösseren Wert ist grösser, als das gleiche Integral mit einem kleineren Wert...

18.10.2012, 18:08

Che Netzer

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Was weißt du über den Betrag eines Produktes? Wie kannst du den umschreiben?

Und das aus dem Edit ist schon besser. Damit kannst du dann eine weitere Abschätzung durchführen.

18.10.2012, 18:16

XHotSniperX

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Also ich denke mal |xy|=|x||y|. oder nicht?

Ist das im reellen und im komplexen gleich? Weiss es nicht mehr xD

18.10.2012, 18:18

Che Netzer

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Ja, die Gleichung gilt auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
In etwas allgemeineren Räumen hätte man $\begin{eqnarray*} \lVert xy\rVert\leq\lVert x\rVert\lVert y\rVert \end{eqnarray*}$ , aber sogar das würde ja noch passen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann wende diese Gleichheit mal an.

18.10.2012, 19:00

XHotSniperX

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$\begin{eqnarray*} \left\lvert\int_\gamma f(z)\dd z\right\rvert=\left\lvert\int_a^bf(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\dd t\right\rvert\leq\ \int_a^b\left\lvert f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\right\rvert\dd t= \int_a^b|f(\gamma(t))|\cdot |\gamma'(t)|\dd t\leq \int_a^b \! M\cdot |\gamma' (t)| \, dt =M\cdot \int_a^b \! \gamma' (t) \, dt \end{eqnarray*}$

Also von links nach rechts das Gleichheits- bzw das Ungleichheitsszeichen erklärt:

1. Def. Komplexes Wegintegral
2. Dreicksungleichung des Integrals
3. Betrag auseinanderziehen
4. Monotonie des Integrals
5. Reelle Zahl "M" vor das Integral schieben.

Ist das ok?

18.10.2012, 19:07

Che Netzer

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Ja, damit wärst du fertig, wenn du die Betragsstriche ganz hinten noch ergänzt.

18.10.2012, 19:17

XHotSniperX

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war sehr nett von dir smile

smile

danke

Big Laugh

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