Schnitt unendlich vieler offener Mengen soll geschlossen sein

16.10.2012, 19:30

Relativity

Schnitt unendlich vieler offener Mengen soll geschlossen sein

Meine Frage:
Es sind $\begin{eqnarray*} A_{i} \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ (unendlich) viele offene Mengen.
Man soll die Mengen so wählen, dass für ihre Schnittmenge gilt: $\begin{eqnarray*} \cap A_{i} \end{eqnarray*}$ ist geschlossen.
Als Hinweis (ich bin mir aber nicht sicher, ob man das für die Lösung unbedingt benötigt) ist angegeben, dass eine solche Schnittmenge bei endlich vielen Mengen $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ nicht existiert.

Meine Ideen:
Ich denke, für die Lösung braucht man an irgendeiner Stelle Grenzwerte, da mir sonst kein Ansatz eingefallen ist, der für unendlich, aber nicht für endlich viele Mengen funktionieren könnte.
Man könnte die Mengen (für i = 1, 2, 3, ...) zum Beispiel etwa so definieren:
$\begin{eqnarray*} A_{i} := \left\{ x \in \mathbb R | -\frac{1}{i} < x < \frac{1}{i} \right\} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty} \left(\pm \frac{1}{i}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, die Mengen (und damit ihr Schnitt) also immer kleinere Bereiche um 0 herum bilden, sodass ihr Grenzwert dann $\begin{eqnarray*} \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ist (was eine geschlossene Menge ist).
Bei diesem letzten Schritt bin ich mir aber nicht sicher, ob das erlaubt ist, da bei direkter Anwendung der Grenzwerte ja 0 < x < 0 gelten würde, was an sich ja nicht möglich ist.

16.10.2012, 19:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Relativity
Man könnte die Mengen (für i = 1, 2, 3, ...) zum Beispiel etwa so definieren:
$\begin{eqnarray*} A_{i} := \left\{ x \in \mathbb R | -\frac{1}{i} < x < \frac{1}{i} \right\} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty} \left(\pm \frac{1}{i}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, die Mengen (und damit ihr Schnitt) also immer kleinere Bereiche um 0 herum bilden, sodass ihr Grenzwert dann $\begin{eqnarray*} \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ist (was eine geschlossene Menge ist).

Passendes Beispiel. Freude

Zitat:

Original von Relativity
Bei diesem letzten Schritt bin ich mir aber nicht sicher, ob das erlaubt ist, da bei direkter Anwendung der Grenzwerte ja 0 < x < 0 gelten würde, was an sich ja nicht möglich ist.

Dann hast du jetzt gelernt, dass das < im Grenzübergang nicht notwendig ein < bleibt, sondern nur noch ein <. Aber eine solche "Regel" brauchst du hier auch gar nicht: Maßgeblich für den Durchschnitt sind nun mal die Zahlen, die in allen beteiligten Mengen drin sind - und das ist hier nur die Zahl Null.

16.10.2012, 21:44

Che Netzer

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Wenn das die gesamte Aufgabenstellung war und nicht gefordert ist, dass der Schnitt nicht offen ist, dann ist das aber viel zu umständlich. Setze einfach $\begin{eqnarray*} A_i=\emptyset \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Hinweis aber falsch.

17.10.2012, 14:28

HAL 9000

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@Che Netzer

Ich gehe mal davon aus, dass hier das Attribut "nicht trivial" im Sinne von "nicht leer" beim Durchschnitt vergessen wurde. Augenzwinkern

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