abgeschlossene Menge?

16.10.2012, 19:50

nerd18000

abgeschlossene Menge?

Meine Frage:
Hallo,

ich soll herausfinden, ob folgende Menge offen oder abgeschlossen ist.
$\begin{eqnarray*} M:= \left\{\left(x,y\right)\in \mathbb R^{2}: \left( \frac{x-1}{5} \right)^{2} + \left( \frac{y}{4} \right)^{2} \leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meiner Meinung nach ist M abgeschlossen, weil M ein Kreis mit Rand ist. aber wie zeige ich das.

Das M nicht offen ist, kann ich durch das Bsp.: (x,y) = (1,4) zeigen. Da für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Umgebung von (1,4) nicht komplett in M ist. Wenn man dadurch gezeigt hat, dass es einen Randpunkt gibt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist nicht offen. Aber ich denke, dass man deswegen nicht Abgeschlossenheit implizieren darf, oder?

mfg nerd

16.10.2012, 20:16

Mazze

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Zitat:

Aber ich denke, dass man deswegen nicht Abgeschlossenheit implizieren darf, oder?

Ja, es gibt zum Beispiel Mengen die weder abgeschlossen noch offen sind. Du könntest etwa zeigen , dass die Menge der Randpunkte zur M gehört, oder Du zeigst, dass das komplement offen ist. Du kannst auch das Folgenkriterium wählen, also dass alle konvergenten Folgen in M den Grenzwert in M haben.

18.10.2012, 15:47

nerd18000

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Hallo,

Zitat:

Du kannst auch das Folgenkriterium wählen, also dass alle konvergenten Folgen in M den Grenzwert in M haben.

Fürs Verständnis würde ich gerne wissen, ob man dabei zeigt, dass alle Punkte aus M auch Häufungspunkte von M sind.
...wenn ja, wie zeige ich das genau? Mir kommt es so vor als ob das was damit zu tun hat, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{x-1}{5} \right)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{y}{4} \right)^{2} \end{eqnarray*}$ stetig sind. Denke ich da richtig?

mfG

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