Ableitung von Funktionen 4

16.10.2012, 21:57

Tipso

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Ableitung von Funktionen 4

Hallo,

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung:

Bilde die Ableitung durch gliedweise Differenzieren 2. nach Zusammenfassen zu einem einzigen Bruch!
Lösungsvorschläge:

Gliedweise Differenzieren:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2}<br /> <br /> =\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)}<br /> <br /> =\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3x-6}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \frac{-x+6}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Lösungsbuch sagt:

Zitat:

209 e. 2.
Nach Zusammenfassen zu einem Bruch:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{(x^2 - 12x + 4)}{ (x^2 - 4)^2} \end{eqnarray*}$

Was sehr irritierend ist.

b.
Zusammenfassen zu einem einzigen Bruch?!

lg

16.10.2012, 22:01

Gast11022013

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Da hast du nicht gliedweise differenziert. Du hast es bisher lediglich auf einen Bruchstrich gezogen. Differenziert wurde auch nicht.
Die Lösung des Buches ist die Ableitung der Funktion. Du hast aber bisher noch gar nicht die Ableitung gebildet.

Edit: Du hast jetzt 3 neue Threads eröffnet. Wie gedenkst du dich da richtig auf einen zu konzentrieren. Dies ist doch genau das was sulo in dem anderem Thread beanstandet hat. Du rechnest Parallel viele Aufgaben bei denen du augenscheinlich überall ausführlichere Hilfe benötigst. Findest du es nicht sinnvoller dich erstmal richtig auf einen Thread zu konzentrieren um dann mit anderen fortzufahren? Der einzige unterschied zu unserem vorherigem Thread ist, dass diese Vorgehensweise für die Helfer angenehmer ist, aber für dich bleibt es doch unüberschaubar wenn du 3 Aufgaben parallel bearbeitest. unglücklich

unglücklich

16.10.2012, 22:20

Tipso

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Hi,

Hast Recht, habe mir gedacht, ich mache einfach alle Threads auf die ich benötige.

Werde die Ableitungen jetzt machen und mich danach auf Wahrscheinlichkeiten fokussieren.

in diesem Fall haben wir ja die Gliedweise Differenzierung schon gemacht nur nicht die Differenzierung bei einem einzigen Bruchstrich, wenn ich mich nicht irre, oder gehört dies beides zu einer Aufgabe.

Ich bin hier etwas verwirrt über die Aufgabenstellung.

Ps.
Bin um 11 off. Freude

Freude

16.10.2012, 22:24

Gast11022013

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Ich würde schon sagen, dass wir beide Ableitungen in diesem Thread machen können, aber dann eine nach dem anderem und nicht wieder beide gleichzeitig.

Die gliedweise Ableitung hatten wir ja soweit fertig. Wenn du diese nochmal aufführen möchtest, dann kannst du dies gerne tuen. Andernfalls würde ich vorschlagen wir fahren mit der Differenzierung nachdem wir es auf einen Bruchstrich gezogen haben fort. Da hast du ja bereits Ansätze gepostet. Diese aber unter "falschem Namen" dargelegt. Das ist soweit auch alles korrekt. Freude

Freude

Wir haben nun die Form:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-x+6}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Bestimme einmal

$\begin{eqnarray*} u<br /> <br /> u'<br /> <br /> v \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 22:31

Tipso

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Gliedweise haben wir im anderen Thread gemacht:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{2x^2-8-4x^2}{(x^2-4)^2} - \frac{ - 3}{(x + 2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y '=\frac{-2x^2-8}{(x^2-4)^2}-\frac{-3}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

Fehlen: Ableitung Aufgabe 2.

Also:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{-x+6}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Ich brauche die Quotienten und kettenregel.

$\begin{eqnarray*} y= \frac{-1 * (x^2 - 4) - (-x + 6) * 2x}{(x^2 - 4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \frac{(-x^2 + 4) +2x^2 + 12x}{(x^2 - 4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \frac{x^2 + 4 + 12x}{(x^2 - 4)^2} \end{eqnarray*}$

16.10.2012, 22:34

Gast11022013

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Da ist dir ein Vorzeichenfehler in der zweiten Zeile passiert. Da die Klammer subtrahiert wird drehen sich alle Vorzeichen. Deshalb muss es

$\begin{eqnarray*} -12x \end{eqnarray*}$

heißen.

Die korrekte Ableitung lautet also:

$\begin{eqnarray*} y '=\frac{x^2-12x+4}{(x^2-4)^2} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun deine letzte Frage aus dem altem Thread als beantwortet ansehen?

Übrigens hast du wieder die Striche, die die Ableitung kennzeichnet, vergessen. :P

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16.10.2012, 22:42

Tipso

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Also

(x^2 - 4) - (-x +6)

1.
x^2 - 4 - x - 6

oder

2.
x^2 - 4 + x - 6

Warum Nr. 2.

Da wenn ich alles umdrehe wird ja:

(x^2 - 4) - (-x +6)

verändert also das - zu + also + x ergo 4 - x und nicht 4 + x.

Ich verstehe leider nicht warum das Quadrat mir als Indiz für die Ableitung dient.

Ich werde Morgen weitere Aufgaben posten, wäre sehr froh wenn du mir dort auch hilfst. Für heute werde ich noch die anderen Threads bearbeiten, nachdem diese Aufgabe zu Ende geführt wurde.

lg

16.10.2012, 22:49

Gast11022013

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Das quadrat kommt daher, dass die Quotientenregel doch wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{v}<br /> <br /> f '(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Der Nenner wird bei der Quotientenregel quadriert. Daher stammt dieses Quadrat. Das es ein Indiz für die Quotientenregel ist würde ich so nicht formulieren. Es wurde eben nur die Lösung angegeben.

Zitat:

Da wenn ich alles umdrehe wird ja:

(x^2 - 4) - (-x +6)

verändert also das - zu + also + x ergo 4 - x und nicht 4 + x

$\begin{eqnarray*} (x^2-4)-(-x+6)=x^2-4+x-6 \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen kannst du auch als multiplikation mit -1 betrachten, welche du in die Klammer reinmultiplizierst.

Ich habe mich jetzt nur auf deine Beispiel Rechnung bezogen. Im Zusammenhang mit der Aufgabe musst du noch auf die nötige Klammersetzung achten und auch darauf, dass die erste Klammer ebenfalls mit -1 multipliziert wird.
Deine Rechnung war korrekt bis auf die +12x anstatt richtigen -12x

16.10.2012, 22:51

Tipso

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Verstehe, ich muss genauere und sauberer arbeiten.

Bin froh das wir es geschafft haben.

Danke, g8.

lg

16.10.2012, 22:56

Gast11022013

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Ich bin ehrlich gesagt auch froh, dass wir es endlich zu ende bringen konnten.
Sollten hierzu noch weitere Fragen auftreten, kannst du sie gerne stellen.

Das du genauer und sauberer arbeiten solltest würde ich direkt unterschreiben. Du machst dich zum Teil aber auch selbst verrückt wenn du alle Aufgaben durcheinander rechnest. Da ist es verständlich, dass du durcheinander kommst. Ich denke wen du dies zukünftig abstellst und einen Thread ernsthaft angehst und dich auch voll und ganz darauf konzentrierst (und nicht deine Helfer verwirrst Augenzwinkern

Augenzwinkern

) wird das besser.

Gute Nacht.

Wink

Wink

Edit: Du kannst für dich nun auch ein Fazit treffen welche Möglichkeit du präferieren würdest. Das gliedweise differenzieren, oder jenes nachdem du es auf einen Bruch gezogen hast. Das war denke ich mal auch Zweck dieser Aufgabe.

16.10.2012, 22:58

Tipso

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Alles klar. Danke nochmal.

lg

16.10.2012, 22:59

Gast11022013

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Gern geschehen.

Und welche Methode würdest du bevorzugen? Wäre interessant das zu wissen.

16.10.2012, 23:14

Tipso

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Ich finde das Gliedweise ausdifferenzieren besser, weil es einfach leichter ist, da es kleinere Schritte erfordert.

Die Ergebnisse sehen aber verschieden aus, obwohl sie gleich sein müssten, liegt wahrscheinlich auch daran das Nenner verschieden - Zähler verschieden u umgekehrt aber ist letztendlich dasselbe.

lg

Ps.
Bin gleich off. Bis vll. Morgen.

16.10.2012, 23:20

Gast11022013

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Das die Ableitungen verschieden aussehen liegt an den von dir genannten Gründen.
Je nach Aufgabenstellung kann es von Vorteil sein die Brüche auf einen Strich zu ziehen. Gerade wenn man mit den Ableitungen weiterrechnen muss (z.B. Extrempunkte, oder Wendepunkte). Da ist es einfacher Mit einem Bruch weiterzurechnen. Außerdem ist es einfacher einen Hauptnenner vor dem differenzieren zu finden als hinterher, da man ihn einfacher sieht, wie in unserem Beispiel, oder leichter berechnet, weil er sich aus weniger Bestandteilen zusammensetzt.
Da hier lediglich die Ableitung gesucht war, hätte ich vielleicht auch gliedweise differenziert. Wenn man jedoch den Binomi direkt erkennt, tut sich da nicht viel im Aufwand und dies ist in der Darstellung meiner Meinung nach bei weitem schöner.

Es hat beides Vor und Nachteile. Auf die dauer hin würde jedoch das differenzieren nachdem man es auf einen Bruchstrich gebracht hat, gewinnen. Dieses ist einfach leichter zum Handhaben und weiterrechnen.

Bis dann.
Wink

Wink

17.10.2012, 10:17

Tipso

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Eine Frage habe ich noch zu der kettenregel bzw. impliziertes differenzieren.

Bsp:

y^3 = x

3y^2 * y' = x

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{3y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } \end{eqnarray*}$

Spätestens ab der 3 Zeile steige ich aus, vor allem die 4 ist total unverständlich für mich.

Ein Paar Worte dazu wäre mir sehr hilfreich.

lg

17.10.2012, 10:43

Gast11022013

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Neue Fragen bitte in einem neuem Thread. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir wollen doch die Übersicht bewahren, die wir extra nachträglich hergestellt haben.
smile

smile

13.11.2012, 02:36

Tipso

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RE: Ableitung von Funktionen 4
Hallo,

Die Gliedweiße Differentation davon wäre interessant:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{2}{2x}-\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{2}{2x}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{x}-1 \end{eqnarray*}$

so?

lg

13.11.2012, 03:01

Bjoern1982

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Zitat:

Gliedweiße Differentation

Was du für Wörter erfindest. verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x}{x^2-4}-\frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{2}{2x}-\frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Das ist einfach mal ins Blaue geraten, was noch zu verzeihen wäre, wenn man wüsste, dass du bis auf die Potenzregel noch keine Ableitungsregel kennst.
Da dem ja offensichtlich nicht so ist, kann man sich bei so einem Vorschlag schon ziemlich wundern. geschockt

geschockt

13.11.2012, 16:03

Tipso

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Quotientenregel. Freude

Freude

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