Matrix auf Stufenform bringen

17.10.2012, 09:06	Mike9190	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix auf Stufenform bringen Meine Frage: Hallo, ich möchte feststellen wieviele Lösungen folgendes Lineares Gleichungssystem besitzt: a + b + 2c + d = 7 c + d = 8 2a + 2b + 5c + 9d = 22 a + b + c = -1 Eine Methode dies festzustellen ist über den Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix. Meine Ideen: Daher stelle ich die Koeffizientenmatrix A auf: 1 1 2 1 0 0 1 1 2 2 5 9 1 1 1 0 Nun möchte ich diese auf Stufenform bringen um den Rang(A) abzulesen. D.h. ich ziehe "gedanklich" eine Diagonale über 1, 0, 5, 0 und bringe über Gauß alle Elemente "darunter" auf 0, richtig? Wenn ich das mache komme ich auf folgende Matrix: 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 7 0 0 0 8 daraus folgt: rang(A) = 4 Ist das richtig? Bei der Diagonale ist der 2. Koeffizient ja bereits Null, muss ich den auf etwas anderes als 0 bringen, da ja alle Koeffizienten unter der Diagonale 0 sein sollen oder ist das egal sollange alle Koeffizienten unterhalb der Diagonale 0 sind?
17.10.2012, 11:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht. Erstens muss die 4. Zeile 0 0 0 6 lauten und zweitens ist dennoch der Rang der Matrix nicht 4, weil der Wert der vierreihigen Determinante gleich Null ist, also muss das lGS entweder abhängig sein oder keine Lösung haben. Hinweis: Bei weiterer Matrixumformung entsteht eine Nullzeile. Insbesondere ergibt sich bei der Subtraktion der 4. von der ersten Zeile eine Zeile, welche ident mit der 2. Zeile ist. So entsteht in weiterer Folge eine Nullzeile. Anmerkung: Wenn als Rang der Matrix 3 vermutet wird, ist mindestens eine 3-reihige Unterdeterminante (Minor) ungleich Null zu bestimmen. [--> Der Rang ist die höchste Ordnung der von Null verschiedenen Unterdeterminanten.] mY+
17.10.2012, 20:00	Mike9190	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. An die Determinante habe ich gar nicht gedacht. Danke. Also ich habe in meinen Unterlagen stehen: det(A) = 0: mehrere Lösungen für homogene Gleichungssysteme. Viele oder keine Lösung für inhomogene Gleichungssysteme. Du hast geschrieben "also muss das lGS entweder abhängig sein oder keine Lösung haben", was heißt "abhängig"? Was hängt hier von was ab? Danke schonmal.
17.10.2012, 20:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Lösbarkeit muss man die erweiterte Matrix (MIT den Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen) betrachten. Wenn dann eine komplette Nullzeile entsteht, ist das System abhängig, das heisst, dass es keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele Lösungen geben kann. () Es sind mehr Variablen als Gleichungen gegeben, weil durch die Nullzeile eine Gleichung wegfällt. Somit kann eine der Variablen frei gewählt werden (Freiheitsgrad 1). Entsteht nur in der Koeffizientenmatrix eine Nullzeile, aber NICHT erweitert mit den Konstanten rechts, so hat das System keine Lösung. (Nach Cramer müsste eine Zahl ungleich Null durch die Determinante, welche gleich Null ist, dividiert werden).
18.10.2012, 07:40	Mike9190	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Vielen Dank.

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