nochmal Aussagenlogik Negation

17.10.2012, 12:29

nochmal blubbiblub

nochmal Aussagenlogik Negation

Meine Frage:
Handelt es sich bei den folgenden Aussagen um All- oder Existenzaussagen. Sind die Aussagen wahr oder falsch? Formulieren Sie jeweils das Gegenteil als All- bzw. Existenzaussage.

d Eine ungerade natürliche Zahl ist stets als Differenz von zwei Quadratzahlen aus den Natürlichen Zahlen (mit 0)zu schreiben.

e Die Gleichung x²+1=0 ist im Bereich der reelen Zahlen lösbar

f \forall a\in Z \exists b\in Z a+ b= 0

Meine Ideen:
Also zu d würde ich sagen, dass es eine Allaussage ist (wegen dem stets), ob die wahr ist oder nicht...weiß ich nicht...
und die Negation: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl, die nicht als Differenz von zwei Quadratzahlen aus N0 beschrieben werden kann.

e) Eine falsche Existenzaussage und die Negation...
vielleicht: Alle Gleichungen x²+1=0 sind im Bereich der reellen Zahlen lösbar.
Oder muss ich bei einer falschen Existenzaussage eine wahre Allaussage machen?
Dann vielleicht: Alle Glechungen x²+1=0 sind nicht im Bereich der reellen Zahlen lösbar.

f) also das bedeutet doch erstmal: Für alle a gibt es ein b. Also ist es eine Allaussage?! Die dazu noch wahr ist.

und die Negation: \exists a\in Z\forall b\in Z nicht(a+b=0) (ich habe das Zeichen für "nicht" nicht gefunden.

Vielen Dank im Voraus

17.10.2012, 16:42

Dopap

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RE: nochmal Aussagenlogik Negation

Zitat:

Original von nochmal blubbiblub
Meine Frage:

d.) Eine ungerade natürliche Zahl ist stets als Differenz von zwei Quadratzahlen aus den Natürlichen Zahlen (mit 0)zu schreiben.

e.) Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \rm x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ ist im Bereich der reelen Zahlen lösbar

f.) $\begin{eqnarray*} \rm \forall a\in Z ~ \exists b\in Z~ a+ b= 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zu d.) würde ich sagen, dass es eine Allaussage ist (wegen dem stets), ob die wahr ist oder nicht...weiß ich nicht...
und die Negation: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl, die nicht als Differenz von zwei Quadratzahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann.

e.) Eine falsche Existenzaussage und die Negation...
vielleicht: Alle Gleichungen $\begin{eqnarray*} \rm x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ sind im Bereich der reellen Zahlen lösbar.
Oder muss ich bei einer falschen Existenzaussage eine wahre Allaussage machen?
Dann vielleicht: Alle Gleichungen $\begin{eqnarray*} \rm x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ sind nicht im Bereich der reellen Zahlen lösbar.

f.) also das bedeutet doch erstmal: Für alle a gibt es ein b. Also ist es eine Allaussage?! Die dazu noch wahr ist.

und die Negation: $\begin{eqnarray*} \rm \exists a\in Z\, \forall b\in Z ~ \lnot (a+b=0) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus

--- Latex editiert---

17.10.2012, 19:07

Dopap

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e.) würde ich so schreiben:

$\begin{eqnarray*} A=\mathop{\bigvee}\limits_{x \in \mathbb R} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$

eine Aussage mit Existenzquantor. W(A)=falsch. Die Negation:

$\begin{eqnarray*} \lnot A=\lnot \left(\mathop{\bigvee}\limits_{x \in \mathbb R} x^2+1=0\right) \end{eqnarray*}$

nach den Regeln wird der Existenzquantor zum Allquantor, die Aussageform wird negiert:

$\begin{eqnarray*} \lnot A=\mathop{\bigwedge}\limits_{x \in \mathbb R} \lnot (x^2+1=0) \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lnot A=\mathop{\bigwedge}\limits_{x \in \mathbb R} (x^2+1\neq 0) \end{eqnarray*}$

Die Aussage: für alle reellen x ist $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ nicht gleich Null ist wahr.

Es empfiehlt sich, sich gleich einen gewissen Formalismus anzugewöhnen.
Für mich gehört dazu obige Schreibweise, das \forall und \exists wird in längeren Scheibfiguren schnell unübersichtlich.

und jetzt sinngemäss die Aufgabe f.)

17.10.2012, 21:16

Dopap

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@nochmal blubbiblub:

Ich nehme stark an, dass du hier noch des öfteren Fragen stellen wirst.
Deshalb empfehle ich eine Registrierung als User mitsamt allen Vorteilen.

Und dann bitte ! einen vernünftigen Usernamen aussuchen.

Gruss
Dopap

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