Lineare Algebra Gleichheit von Mengen

17.10.2012, 12:35

Nicole1993

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Lineare Algebra Gleichheit von Mengen

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet: Es sei f: M-> N eine Abbildung von Mengen. Es seien A1, A2 c M und B1, B2 C N Teilmengen. Welche der folgenden Formeln ist korrekt:

f(M\A1)= f(M)\f(A1)

die anderen Formeln habe ich schon bewiesen, bzw Gegenbeispiele gefunden.
Das Problem ist nun dass ich hier nicht weiß wie ich damit umgehen kann/soll. Ein weiteres Problem ist, wie das gleiche mit dem Urbild funktioniert.
Gelten da andere Regeln?

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre so anzufangen:

f(x) ist ein Element von f(M\A1) und daraus folgt dann x ist ein Element von M\A1. Aber weiter komme ich nicht. Ist es richtig, dass diese Formel nicht stimmt, bzw nur in eine Richtung korrekt ist?

Bitte helft mir!!

17.10.2012, 14:00

Mazze

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Zitat:

Ist es richtig, dass diese Formel nicht stimmt, bzw nur in eine Richtung korrekt ist?

Nein, beide Richtungen sind wahr. Die Hinrichtung hast Du fast gezeigt :

Zitat:

f(x) ist ein Element von f(M\A1) und daraus folgt dann x ist ein Element von M\A1.

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus A \end{eqnarray*}$ dann ist wohl $\begin{eqnarray*} x \in M \land x \notin A \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(M) \land f(x) \notin f(A) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$

Rückrichtung :

Sei also $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$ dann ist wohl $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(M) \land f(x) \notin f(A) \end{eqnarray*}$ . Wenn jetzt aber $\begin{eqnarray*} f(x) \notin f(A) \end{eqnarray*}$ ist kann nur $\begin{eqnarray*} x \notin A \end{eqnarray*}$ gelten, also?

17.10.2012, 14:13

Nicole1993

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Ja okay. Aber kannst du mir dann sagen welche von den Formeln noch nicht richtig sein soll?
$\begin{eqnarray*} f^(-1) (B1\cap B2)= f^(-1) (B1) \cap f^(-1) (B2) \end{eqnarray*}$

Diese vielleicht?

17.10.2012, 14:20

Nicole1993

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Ich weiß nicht weiter.

Diese Formeln sind gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)<br /> f(M\setminus A_1)=f(M)\setminus f(A_1)<br /> f^{-1} (B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)<br /> f^{-1} (B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)<br /> f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

edit : Mazze : Latex korrigiert.

17.10.2012, 14:23

Mazze

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Wenn Du in Latex mehrere Zeichen hoch/tiefstellen oder sonst was willst kommen diese in Geschweifte klammern {}

Du meinst also sicherlich :

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung gilt!

17.10.2012, 15:09

Nicole1993

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Ja und welche Gleichung gilt nicht?

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17.10.2012, 15:15

Mazze

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Soweit ich das überblicke sind alle richtig. Die Beweise sind alle auch nicht schwierig. Am besten direkt mal aufschreiben, ich muss jetzt aber leider gleich weg.

17.10.2012, 15:44

Nicole1993

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Okay. Dankeschön auf jeden Fall trotzdem. smile

smile

)

17.10.2012, 16:21

EinGast

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RE: Lineare Algebra Gleichheit von Mengen

Zitat:

Original von Nicole1993
Meine Frage:

f(M\A1)= f(M)\f(A1)

das stimmt i.a. nicht ...

17.10.2012, 16:37

Nicole1993

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Das dachte ich auch! Das stimmt nur in eine Richtund oder? Die Linke Seite ist eine Teilmenge von der rechten! Aber nicht ander herum. Oder?
Gibt es denn dazu ein gutes Gegenbeispiel? Irgendwie bin ich dazu noch nicht fündig geworden! Ich bitte um Hilfe!!!

17.10.2012, 16:53

EinGast

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Zitat:

Original von Nicole1993
Das dachte ich auch! Das stimmt nur in eine Richtund oder?

ja, die Inklusion $\begin{eqnarray*} f(M\setminus A)\supseteq f(M)\setminus f(A) \end{eqnarray*}$ gilt immer.
Für ein Gegenbeispiel zu $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ : es kann $\begin{eqnarray*} f(A)=f(M) \end{eqnarray*}$ sein, auch wenn $\begin{eqnarray*} A\not=M \end{eqnarray*}$ - mann kann beispielsweise die Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ betrachten ...

17.10.2012, 17:08

Nicole1993

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Also ist jetzt die rechte Seite eine Teilmenge der linken Seite? Oder anders herum?
Super vielen Dank für das Gegenbeispiel!
Wie ist das denn bei dem Urbild?

17.10.2012, 17:13

Nicole1993

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$\begin{eqnarray*} f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

17.10.2012, 17:13

Nicole1993

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Also bei dieser Gleichung?

17.10.2012, 17:20

EinGast

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Zitat:

Original von Nicole1993
Also ist jetzt die rechte Seite eine Teilmenge der linken Seite?

ja, das gilt immer - die andere Inlusion ist dagegen i.allg. falsch
die Gleichung mit dem Urbild ist richtig

17.10.2012, 17:25

Nicole1993

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Okay. Danke. Und von den anderen Gleichungen? Ist da noch eine dabei, die falsch ist?
Und diese?
$\begin{eqnarray*} f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

17.10.2012, 17:32

EinGast

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Von diesen Formeln

Zitat:

Original von Nicole1993

$\begin{eqnarray*} f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)<br /> f(M\setminus A_1)=f(M)\setminus f(A_1)<br /> f^{-1} (B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)<br /> f^{-1} (B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)<br /> f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2) \end{eqnarray*}$

stimmen alle ausser der zweiten. Und

$\begin{eqnarray*} f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2) \end{eqnarray*}$

stimmt auch nicht i.a

17.10.2012, 17:34

Nicole1993

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Super! Danke! Dann lag ich ja doch nicht ganz falsch! Vielen Dank für deine Hilfe! Freude

Freude

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