Minkowski-Ungleichung für Folgen

17.10.2012, 13:54

Gast11022013

Minkowski-Ungleichung für Folgen

Meine Frage:
Zeigen Sie mittels der Hölder-Ungleichung (Version für Folgen):

Für $\begin{eqnarray*} x,y\in\ell^p=\left\{(t_n):t_n\in\mathbb{K},\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert^p<\infty\right\}, 1\leq p<\infty \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert_p\leq\lVert x\rVert_p+\lVert y\rVert_p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert_p=\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}, x=(t_n)\in\ell^p \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Es empfiehlt sich folgende zur Minkowski-Ungleichung äquivalente Ungleichung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert_p^p\leq \left(\lVert x\rVert_p+\lVert y\rVert_p\right)\lVert x+y\rVert_p^{p-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Moin, moin! Ich habe mich mal versucht.

Seien $\begin{eqnarray*} x=(s_n), y=(t_n)\in\ell^p \end{eqnarray*}$ und wähle $\begin{eqnarray*} q=\frac{p}{p-1} \end{eqnarray*}$ für vorgegebenes (beliebiges) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert_p^p=\left(\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n+t_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\right)^{p}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n+t_n\rvert^p \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \lvert s_n+t_n\rvert\leq\lvert s_n\rvert+\lvert t_n\rvert \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lvert s_n+t_n\rvert^p=\lvert s_n+t_n\rvert\left(\lvert s_n+t_n\rvert\right)^{p-1}\leq\lvert s_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}+\lvert t_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n+t_n\rvert^p\leq\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich sagen, muss man irgendwie die Hölderungleichung ins Spiel bringen.

Ich würde sagen: Erstmal gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} x\in\ell^p \end{eqnarray*}$ , dann wird wohl auch $\begin{eqnarray*} \lvert x\lvert\in\ell^p \end{eqnarray*}$ gelten? Und ebenso ist ja $\begin{eqnarray*} x+y\in\ell^p \end{eqnarray*}$ , dann wohl auch $\begin{eqnarray*} \lvert x+y\rvert^{p-1} \end{eqnarray*}$ ? An dieser Stelle bin ich mir recht unsicher, ob das die richtige Begründung ist. Jedenfalls kann man die Hölderungleichung anwenden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert\lvert s_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\rvert=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n(s_n+t_n)^{p-1}\rvert\leq\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}} \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert\lvert t_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\rvert\leq\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum\limits_{n=1}\left(\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}} \end{eqnarray*}$

Damit geht es in der obigen Abschätzung weiter mit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\leq \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert s_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}}+\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert t_n\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum\limits_{n=1}\left(\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (p-1)q=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q}=\frac{p-1}{p} \end{eqnarray*}$ ist die rechte Ungleichungsseite identisch mit

$\begin{eqnarray*} \left(\lVert x\rVert_p+\lVert y\rVert_p\right)\lVert x+y\rVert_p^{p-1} \end{eqnarray*}$ .

Puh, ganz schön viel Schreiberei!

Ich bin mir recht sicher, dass das so stimmen sollte.

Nur die Stelle, wo ich die Hölderungleichung ins Spiel bringe, ist mir noch ein bisschen unsicher. Da würde mich eine genaue Begründung, wieso ich diese Ungleichung andwenden darf, sehr freuen!

Viele Grüße,
Dennis

17.10.2012, 20:42

Che Netzer

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Hallo,

die Hölder-Ungleichung kannst du anwenden, da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} (\lvert t_n\rvert)\in\ell^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\lvert t_n+s_n\rvert^{p-1}\right)\in\ell^q \end{eqnarray*}$ (wegen der Nebenrechnung).

mfg,
Ché Netzer

17.10.2012, 20:46

Gast11022013

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Welche Voraussetzung und welche Nebenrechnung?

17.10.2012, 21:37

Che Netzer

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Hm, mir fällt gerade auf, dass das Unsinn war...
Die Hölder-Gleichung gilt aber sowieso immer, auch wenn die entsprechenden Folgen nicht aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \ell^q \end{eqnarray*}$ kommen. In den Fällen hat man dann halt $\begin{eqnarray*} \leq\infty \end{eqnarray*}$ , aber anwenden kann man sie in jedem Fall.

17.10.2012, 21:42

Gast11022013

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Jetzt bin ich etwas verwirrt. Big Laugh

Mich interessiert an sich nur, wieso ich an der entsprechenden Stelle im Beweis die Höldergleichung anwenden kann bzw. wie ich sehe, dass diese Folgen in $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ liegen.

17.10.2012, 21:53

Che Netzer

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Wie gesagt, das braucht man gar nicht zu sehen.

17.10.2012, 21:58

Gast11022013

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RE: Minkowski-Ungleichung für Folgen
Irgendwie... verstehe ich das jetzt nicht, entschuldige. Es muss doch irgendeinen Grund geben, wieso man eine Summe wie

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert\lvert s_n\rvert\lvert s_n+t_n\rvert^{p-1}\rvert \end{eqnarray*}$

mit der Hölderungleichung abschätzen kann.

Die Beträge verwirren mich halt...

17.10.2012, 22:00

Che Netzer

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RE: Minkowski-Ungleichung für Folgen
Man kann tatsächlich auf jede Summe von Produkten die Hölder-Ungleichungen anwenden (naja, die Summanden sollten vielleicht nichtnegativ sein, damit alles wohldefiniert ist. Mit Beträgen also kein Problem). Wenn die Folgen der Faktoren aber jeweils aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ell^q \end{eqnarray*}$ kommen, dann ist die rechte Seite sogar endlich.

17.10.2012, 22:02

Gast11022013

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RE: Minkowski-Ungleichung für Folgen
Okay, dann weiß ich jetzt bescheid.

Ich danke.

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