Russelsches Paradoxon Erläuterung

17.10.2012, 15:12

Trudi

Russelsches Paradoxon Erläuterung

Meine Frage:
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Russelschen Paradoxon:

Dieses besagt:

Sei $\begin{eqnarray*} M =\{X:X \notin X\} \end{eqnarray*}$
so gilt $\begin{eqnarray*} M\in M\Rightarrow M\notin M \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} M \notin M \Rightarrow M \in M \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das so richtig verstanden habe.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, mir das Paradoxon anhand eines anderen Bsps vorzustellen:
Sei $\begin{eqnarray*} N=\{X: X \text{ gerade}\} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} N_1={2,8,42} \end{eqnarray*}$ Es gilt $\begin{eqnarray*} N_1 \in N \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} N_2={2,7,42} \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} N_2 \notin N \end{eqnarray*}$

Nun ist eben eine Menge $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ entweder in N oder eben nicht.

Anders ist dies bei dem Paradoxon von Russel:

Der wichtige Punkt ist, dass die Menge M definiert ist als alle Mengen X, die nicht in X enthalten sind.

Betrachten wir nun also eine Menge M, die in M enthalten ist, dann sind das alle X die nicht in X enthalten sind. Warum sind sie dann nicht in M enthalten?

Betrachten wir im anderen Fall eine Menge M (müsste ich hier nicht $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ schreiben?), die nicht in M enthalten ist. Dann sind dies gerade alle X, die in X liegen (da das das Gegenteil davon ist, dass sie nicht in X liegen). Warum liegen sie dann in M?

und sind die M alle die gleichen?

Ich glaube ich bin gerade etwas verwirrt von dem Paradoxon. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann oder eine Erklärung hat smile

Vielen Dank für eure Mühe schon im Voraus.

Trudi

17.10.2012, 17:46

wischl

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Trudi,

dein Zahlenbeispiel ist mir nicht so ganz klar. Was bedeutet zum Beispiel $\begin{eqnarray*} N_1 = 2, 8, 42 \end{eqnarray*}$ ? Ist N1 eine Menge? Dann wären N1 und N2 doch wohl bestenfalls Teilmengen von N.

Ich glaube aber ohnehin, dass du die Russellsche Antinomie nicht anhand konkreter Zahlenbeispiele verstehen wirst, weil sie gänzlich unanschaulich ist - ich jedenfalls kann mir keine Menge vorstellen, die sich selbst als Element enthält.

Der Punkt ist nach meinem Verständnis der: Die weite Mengendefinition von Cantor rechtfertigt das Abstraktionsprinzip, nachdem jede Zusammenfassung von Objekten x mit einer logischen Eigenschaft E(x), notiert
$\begin{eqnarray*} \{ x ~ | ~ E(x) \} \end{eqnarray*}$ ,
eine Menge ist. Rein formal kann man nun als logische Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ setzen, also
$\begin{eqnarray*} M = \{x ~ | ~ x \notin x\} \end{eqnarray*}$
Dieser Schritt ist gänzlich unanschaulich; in der axiomatischen Mengenlehre kann man sogar nachweisen, dass es keine Menge (im axiomatischen Sinne) gibt, die sich selbst als Element enthält.

Paradox ist das ganze deshalb: Angenommen M wäre Element von M. Nach Definition von M sind genau die Mengen in M enthalten, die sich selbst *nicht* als Element enthalten - deshalb folgt, dass M nicht Element von M ist. Umgekehrt gehts analog.

Hoffe, ich konnte helfen!

18.10.2012, 11:17

Trudi

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.

Stimmt, N1 und N2 sind in meinem Beispiel nur Teilmengen. Jetzt verstehe ich auch das Paradoxon besser. Es handelt sich also nur um einzelne Elemente X, die in der Menge M enthalten sind oder nicht, richtig?

Was mir noch unklar ist:
$\begin{eqnarray*} \{x| x \notin x\} \end{eqnarray*}$ ist doch nur eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \{x|x \in x \text{ und} x \notin x\} \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} x \in x \text{ und} x \notin x \end{eqnarray*}$ ist doch für kein x erfüllt und wäre deshalb für alle x falsch. Folgt daraus dann nicht Beliebiges?

und noch zu "Umgekehrt gehts analog."
Angenommen M wäre nicht Element von M. Nach Definition von M sind Mengen in M enthalten, die sich selbst nicht als Element enthalten. Die Definition sagt aber doch nichts über Elemente aus, die nicht in M liegen, oder?

Da verstehe ich diese umgekehrte Richtung noch nicht...

18.10.2012, 11:49

wischl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es handelt sich also nur um einzelne Elemente X, die in der Menge M enthalten sind oder nicht, richtig?

Ja, Teilmengenbeziehungen braucht man hier nicht.

Aber wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} \{ x | x \notin x\} \end{eqnarray*}$ eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \{x | x \in x \text{ und } x \notin x \} \end{eqnarray*}$ ist?

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} x \in x \text{ und } x \notin x \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich immer falsch, daraus folgt aber nichts, weil die Mengendefinition ja nur eine Mengendefinition und keine logische Aussage ist. Da die Bedingung aber immer falsch ist, ist $\begin{eqnarray*} \{x | x \in x \text{ und } x \notin x \} \end{eqnarray*}$ einfach die leere Menge.

Ganz anders ist es mit der Menge/Klasse aus Russells Paradoxon: Nach Cantor ist $\begin{eqnarray*} \{ x | x \notin x\} \end{eqnarray*}$ eben einfach irgendeine (ziemlich große) Menge. Sicher enthält M alle Mengen, die du jemals gesehen hast, also z. B. die natürlichen/ganzen/rationalen/... Zahlen. Wie gesagt: Du wirst dir vermutlich keine Menge denken können, die sich selbst als Element enthält. Das einzig bedenkenswerte Beispiel dazu, von dem ich mal gehört habe ist "die Menge der abstrakten Dinge"... nunja.

Zitat:

und noch zu "Umgekehrt gehts analog."
Angenommen M wäre nicht Element von M.

Dann wäre M nach Definition von M Element von M. Ich hab auch etwas Kopfschmerzen bekommen, als ich das zum ersten Mal gehört hab Augenzwinkern

Die Definition von M sagt etwas über *alle* Mengen - nämlich dass alle Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, in M liegen.

18.10.2012, 12:05

Trudi

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das hatte ich falsch im Skript nachgelesen:

richtig: $\begin{eqnarray*} \{ x \in x:x \notin x\} \end{eqnarray*}$ ist eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \{x|x \in x \text{ und } x \notin x\} \end{eqnarray*}$ Das stand im Skript zwar mit einer allgemeinen Aussage A(m) statt $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ . Diese allgemeine Aussage sollte ich aber ja einfach durch meine Aussage ersetzen können... Wie du gesagt hast, bringt mir das aber nichts, da es nicht um Aussagenlogik geht, sondern um die Definition einer Menge. Und diese kann ich definieren wie ich möchte. (wenn ich mir eine neue Menge bastle)

Jetzt müsste es passen, oder? Und daran sieht man ja auch schon sehr schön das Paradoxon. Dass in der Menge genau die Elemente drin sind, die nicht in ihr sind. Und dass die Elemente die nicht in der Menge sind, in der Menge sind...

Ich glaube so langsam wird die Sache klarer...

aber "Du wirst dir vermutlich keine Menge denken können, die sich selbst als Element enthält"

Warum könnte ich da nicht z.B. die Menge X wählen $\begin{eqnarray*} X = \{1\} \end{eqnarray*}$ . Also die Menge, die nur die Eins enthält? Oder würde sich das dann hochdrehen? Also wenn ich nun eine Menge betrachte, die meine 1 enthält, und 2 heißt, dann wäre diese:

$\begin{eqnarray*} 2 =\{1\} \end{eqnarray*}$ Nach Definition von 1 folgt dann
$\begin{eqnarray*} 2=\{\{1\}\} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

18.10.2012, 12:42

wischl

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, ich habe bei deinen Posts bis jetzt immer etwas Verständnisprobleme, bitte versuch dich präziser auszudrücken.

Zitat:

In deinem Skript steht $\begin{eqnarray*} \{ m | A(m) \} = \{ m | A(m) \text{ und } \neg A(m) \} \end{eqnarray*}$ ? Das wäre jedenfalls offensichtlich falsch.

Zitat:

Wie du gesagt hast, bringt mir das aber nichts, da es nicht um Aussagenlogik geht, sondern um die Definition einer Menge. Und diese kann ich definieren wie ich möchte. (wenn ich mir eine neue Menge bastle)

Was heißt es bringt nichts? Es folgt nichts - du stellst nur die Eigenschaften eines Objekts fest. Damit meinte ich: Es ist nicht so, dass aus einer Definition wie oben immer Widersprüche folgen können, nur weil A(m) falsch ist. Solange die Menge selbst wohldefiniert ist jedenfalls - und das ist bei Russells Allklasse nicht der Fall.

Zitat:

Jetzt müsste es passen, oder? Und daran sieht man ja auch schon sehr schön das Paradoxon. Dass in der Menge genau die Elemente drin sind, die nicht in ihr sind. Und dass die Elemente die nicht in der Menge sind, in der Menge sind...

So isses

Zitat:

aber "Du wirst dir vermutlich keine Menge denken können, die sich selbst als Element enthält"

Warum könnte ich da nicht z.B. die Menge X wählen $\begin{eqnarray*} X = \{1\} \end{eqnarray*}$ . Also die Menge, die nur die Eins enthält? Oder würde sich das dann hochdrehen? Also wenn ich nun eine Menge betrachte, die meine 1 enthält, und 2 heißt, dann wäre diese:

$\begin{eqnarray*} 2 =\{1\} \end{eqnarray*}$ Nach Definition von 1 folgt dann
$\begin{eqnarray*} 2=\{\{1\}\} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

S. h. oben - ich verstehe das nicht. Mit X = {1} enthält sich X schon mal nicht selbst. Denn es gilt nicht $\begin{eqnarray*} X = \{1\} \in X \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 1 \in X \end{eqnarray*}$ . Die zwei Zeilen mit der 2 widersprechen sich einfach, die zweite folgt nicht aus der ersten. Mit 1 und 2 scheinst du auf Ordinale anzuspielen und hier ist die Sache etwas anders:

$\begin{eqnarray*} 0 = \emptyset <br /> 1 = \{ 0 \} = \{ \emptyset \} <br /> 2 = \{ 0, 1 \} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} <br /> \dots \end{eqnarray*}$

Keinesfalls gilt aber $\begin{eqnarray*} 1 \in 1 \end{eqnarray*}$ oder so.

18.10.2012, 17:16

wischl

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur! Ich hab vorhin etwas schnell gelesen:

Zitat:

Es sind nicht genau die Elemente in M enthalten, die nicht in M enthalten sind. Wie ich im zweiten Post bereits geschrieben habe, sind in M alle möglichen Mengen und das ganz ohne Widerspruch. Wie auch schon geschrieben: In der axiomatischen Mengenlehre ist M die Klasse aller Mengen. Aber es gibt eben *eine* Menge - nämlich M selbst -, für die die Frage, ob sie Element von M ist, auf besagte Antinomie führt.

26.10.2012, 23:56

Trudi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich glaube jetzt habe ich das Paradoxon an sich verstanden.
Es gibt ja auch die Veranschaulichung des Paradoxons mittels dem Barbier von Sevilla: "Der Barbier rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.".
Es ergibt sich nun für keinen der Männer ein Widerspruch (analog auch für die meisten Mengen). Nur für die eine Menge M (oder hier den Barbier) ergibt sich hier ein Widerspruch.

Stimmt das so?

Was ich noch nicht verstehe ist

Zitat:

Keinesfalls gilt aber $\begin{eqnarray*} 1 \in 1 \end{eqnarray*}$ oder so.

Ich habe ja weiter oben schon mal versucht, das zu zeigen, der Ansatz war aber falsch, wie ich jetzt nachvollzogen habe. Ganz anschaulich gesehen, verstehe ich aber schon deine Aussage nicht, vielleicht habe ich deshalb Probleme sie zu zeigen oder nachzuvollziehen.
Wie könnte ich denn vorgehen, um das zu zeigen? (vielleicht sollte ich auch einen neuen Thread dafür aufmachen, die Frage ist ja doch eine etwas andere als die ursprünglich angegebene?)

27.10.2012, 15:56

wischl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

In Bezug auf das Mengenparadoxon hast du recht, für die meisten Mengen ergibt sich kein Widerspruch, nur eben für die Menge selbst. Was du geschrieben hast ist trotzdem nicht ganz richtig: In dieser Formulierung ist das kein Analogon zur Russellschen Antinomie. Übersetzen wir "wird rasiert von" mit "ist Element von" und modellieren den Barbier als Menge B, dann wäre diese Aussage die folgende:

$\begin{eqnarray*} x \notin x \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ , das heißt alle Männer, die sich nicht selbst rasieren, werden vom Barbier rasiert. Nun gilt offenbar - wenn man an dieser Mengenformulierung festhalten möchte, $\begin{eqnarray*} B \in B \end{eqnarray*}$ , d. h. der Barbier rasiert sich selbst. Das ist aber kein Widerspruch - kannst dir ja mal überlegen, wie man den Satz mit dem Barbier umformulieren müsste, damit er wirklich ein Analogon zur Russellschen Antinomie darstellt.

Zitat:

Was ich noch nicht verstehe ist

Zitat:

Keinesfalls gilt aber $\begin{eqnarray*} 1 \in 1 \end{eqnarray*}$ oder so.

Wenn es speziell um die 1 geht, sieht man das einfach an der Definition. Ich habe geschrieben 1={0}, d. h. die 1 hat nur ein Element und das ist 0.

Die allgemeine Aussage $\begin{eqnarray*} x \notin x \end{eqnarray*}$ für alle Mengen x kann man im Rahmen der naiven Mengenlehre wohl überhaupt nicht zeigen.

Neue Frage »

Antworten »

Russelsches Paradoxon Erläuterung

Verwandte Themen